Matematica discreta Esempi

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 3 & 2 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1

Scrivi come una matrice aumentata per

A x = 0

$A x = 0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 3 & 2 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{1}

$R_{1}$ per

- 1

$- 1$ per rendere il dato in

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{1}

$R_{1}$ per

- 1

$- 1$ per rendere il dato in

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - - 1 & - 1 \cdot 3 & - 1 \cdot 2 & - 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 3 & - 1 \cdot 2 & - 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ per rendere il dato in

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ per rendere il dato in

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 1 - 1 & 1 + 3 & 0 + 2 & 0 - 0 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + 3 & 0 + 2 & 0 - 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 0 & 4 & 2 & 0 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 0 & 4 & 2 & 0 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 0 & 4 & 2 & 0 1 - 1 & 1 + 3 & 0 + 2 & 0 - 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + 3 & 0 + 2 & 0 - 0 \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Semplifica

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 0 & 4 & 2 & 0 0 & 4 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 0 & 4 & 2 & 0 0 & 4 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica ogni elemento di

R_{2}

$R_{2}$ per

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ per rendere il dato in

2, 2

$2, 2$ un

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{2}

$R_{2}$ per

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ per rendere il dato in

2, 2

$2, 2$ un

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{2}{4} & \frac{0}{4} 0 & 4 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{2}{4} & \frac{0}{4} \\ 0 & 4 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 0 & 4 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 0 & 4 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.5

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ per rendere il dato in

3, 2

$3, 2$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ per rendere il dato in

3, 2

$3, 2$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 2 - 4 (\frac{1}{2}) & 0 - 4 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 2 - 4 (\frac{1}{2}) & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 2.5.2

Semplifica

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.6

Esegui l'operazione in riga

R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ per rendere il dato in

1, 2

$1, 2$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Esegui l'operazione in riga

R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ per rendere il dato in

1, 2

$1, 2$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 2 + 3 (\frac{1}{2}) & 0 + 3 \cdot 0 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 2 + 3 (\frac{1}{2}) & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.6.2

Semplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

x - \frac{1}{2} z = 0

$x - \frac{1}{2} z = 0$

y + \frac{1}{2} z = 0

$y + \frac{1}{2} z = 0$

0 = 0

$0 = 0$

Passaggio 4

Scrivi un vettore di soluzione risolvendo in base alle variabili libere in ogni riga.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{z}{2} - \frac{z}{2} z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{2} \\ - \frac{z}{2} \\ z \end{array}]$

Passaggio 5

Scrivi la soluzione come combinazione lineare di vettori.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = z ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 6

Scrivi come insieme di soluzioni.

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ z ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ z \in R ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Passaggio 7

La soluzione è l'insieme di vettori creati dalle variabili libere del sistema.

Base di

Nul (A)

$Nul (A)$ :

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

Dimensione di

Nul (A)

$Nul (A)$ :

1

$1$

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