Matematica discreta Esempi

y = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27

$y = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

Passaggio 1

Imposta

x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27

$x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ uguale a

0

$0$ .

x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27 = 0

$x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per

x

$x$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

x^{3} + 27 + 9 x^{2} + 27 x = 0

$x^{3} + 27 + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi

27

$27$ come

3^{3}

$3^{3}$ .

x^{3} + 3^{3} + 9 x^{2} + 27 x = 0

$x^{3} + 3^{3} + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Passaggio 2.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi,

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove

a = x

$a = x$ e

b = 3

$b = 3$ .

(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0

$(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

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Passaggio 2.1.4.1

Moltiplica

3

$3$ per

- 1

$- 1$ .

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Passaggio 2.1.4.2

Eleva

3

$3$ alla potenza di

2

$2$ .

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x^{2} + 27 x = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x^{2} + 27 x = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi

9 x

$9 x$ da

9 x^{2} + 27 x

$9 x^{2} + 27 x$ .

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Passaggio 2.1.5.1

Scomponi

9 x

$9 x$ da

9 x^{2}

$9 x^{2}$ .

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 27 x = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 27 x = 0$

Passaggio 2.1.5.2

Scomponi

9 x

$9 x$ da

27 x

$27 x$ .

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 9 x (3) = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 9 x (3) = 0$

Passaggio 2.1.5.3

Scomponi

9 x

$9 x$ da

9 x (x) + 9 x (3)

$9 x (x) + 9 x (3)$ .

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3) = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3) = 0$

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3) = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3) = 0$

Passaggio 2.1.6

Scomponi

x + 3

$x + 3$ da

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3)

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3)$ .

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Passaggio 2.1.6.1

Scomponi

x + 3

$x + 3$ da

9 x (x + 3)

$9 x (x + 3)$ .

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x) = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x) = 0$

Passaggio 2.1.6.2

Scomponi

x + 3

$x + 3$ da

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x)

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x)$ .

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 + 9 x) = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 + 9 x) = 0$

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 + 9 x) = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 + 9 x) = 0$

Passaggio 2.1.7

Somma

- 3 x

$- 3 x$ e

9 x

$9 x$ .

(x + 3) (x^{2} + 6 x + 9) = 0

$(x + 3) (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Passaggio 2.1.8

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.1.8.1

Riscrivi

9

$9$ come

3^{2}

$3^{2}$ .

(x + 3) (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0

$(x + 3) (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.8.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

6 x = 2 \cdot x \cdot 3

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Passaggio 2.1.8.3

Riscrivi il polinomio.

(x + 3) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0

$(x + 3) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.8.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato

a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove

a = x

$a = x$ e

b = 3

$b = 3$ .

(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0

$(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$

(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0

$(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$

(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0

$(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

0

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

{(x + 3)}^{2} = 0

${(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3

Imposta

x + 3

$x + 3$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta

x + 3

$x + 3$ uguale a

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.3.2

Sottrai

3

$3$ da entrambi i lati dell'equazione.

x = - 3

$x = - 3$

x = - 3

$x = - 3$

Passaggio 2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0

$(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$ vera. La molteplicità di una radice è il numero di volte in cui la radice compare.

x = - 3

$x = - 3$ (Molteplicità di

3

$3$ )

x = - 3

$x = - 3$ (Molteplicità di

3

$3$ )

Passaggio 3

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