Calcolo Esempi

\int \sqrt{1 - 4 x^{2}} d x

$\int \sqrt{1 - 4 x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia

x = \frac{1}{2} \sin (t)

$x = \frac{1}{2} \sin (t)$ , dove

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora

d x = \frac{\cos (t)}{2} d t

$d x = \frac{\cos (t)}{2} d t$ . Si noti che, poiché

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ,

\frac{\cos (t)}{2}

$\frac{\cos (t)}{2}$ è positivo.

\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica

\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}

$\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

\sin (t)

$\sin (t)$ .

\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a

\frac{\sin (t)}{2}

$\frac{\sin (t)}{2}$ .

\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.3

Eleva

2

$2$ alla potenza di

2

$2$ .

\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.4

Elimina il fattore comune di

4

$4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.1

Scomponi

4

$4$ da

- 4

$- 4$ .

\int \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.4.2

Elimina il fattore comune.

\int \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

\int \sqrt{1 - 1 \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 1 \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

\int \sqrt{1 - 1 \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 1 \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.5

Riscrivi

- 1 \sin^{2} (t)

$- 1 \sin^{2} (t)$ come

- \sin^{2} (t)

$- \sin^{2} (t)$ .

\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.2

Applica l'identità pitagorica.

\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

\int \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

\int \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

\cos (t)

$\cos (t)$ e

\frac{\cos (t)}{2}

$\frac{\cos (t)}{2}$ .

\int \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t

$\int \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.2

Eleva

\cos (t)

$\cos (t)$ alla potenza di

1

$1$ .

\int \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.3

Eleva

\cos (t)

$\cos (t)$ alla potenza di

1

$1$ .

\int \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.4

Usa la regola della potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

\int \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t

$\int \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

Passaggio 2.2.5

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 3

Poiché

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ è costante rispetto a

t

$t$ , sposta

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

\frac{1}{2} \int \cos^{2} (t) d t

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 4

Usa la formula di bisezione per riscrivere

\cos^{2} (t)

$\cos^{2} (t)$ come

\frac{1 + \cos (2 t)}{2}

$\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

\frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 5

Poiché

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ è costante rispetto a

t

$t$ , sposta

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ per

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 t) d t

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2

Moltiplica

2

$2$ per

2

$2$ .

\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t$

\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

\frac{1}{4} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)

$\frac{1}{4} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (2 t) d t)

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Passaggio 9

Sia

u = 2 t

$u = 2 t$ . Allora

d u = 2 d t

$d u = 2 d t$ , quindi

\frac{1}{2} d u = d t

$\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia

u = 2 t

$u = 2 t$ . Trova

\frac{d u}{d t}

$\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia

2 t

$2 t$ .

\frac{d}{d t} [2 t]

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 9.1.2

Poiché

2

$2$ è costante rispetto a

t

$t$ , la derivata di

2 t

$2 t$ rispetto a

t

$t$ è

2 \frac{d}{d t} [t]

$2 \frac{d}{d t} [t]$ .

2 \frac{d}{d t} [t]

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d t} [t^{n}]

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è

n t^{n - 1}

$n t^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica

2

$2$ per

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema usando

u

$u$ e

d u

$d u$ .

\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 10

\cos (u)

$\cos (u)$ e

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{4} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)

$\frac{1}{4} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 11

Poiché

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ è costante rispetto a

u

$u$ , sposta

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 12

L'integrale di

\cos (u)

$\cos (u)$ rispetto a

u

$u$ è

\sin (u)

$\sin (u)$ .

\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Passaggio 13

Semplifica.

\frac{1}{4} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C

$\frac{1}{4} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di

t

$t$ con

\arcsin (2 x)

$\arcsin (2 x)$ .

\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di

u

$u$ con

2 t

$2 t$ .

\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Passaggio 14.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

t

$t$ con

\arcsin (2 x)

$\arcsin (2 x)$ .

\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (2 x))) + C

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (2 x))) + C$

\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (2 x))) + C

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (2 x))) + C$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

\sin (2 \arcsin (2 x))

$\sin (2 \arcsin (2 x))$ .

\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}) + C

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}) + C$

Passaggio 15.2

Applica la proprietà distributiva.

\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C

$\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C$

Passaggio 15.3

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ e

\arcsin (2 x)

$\arcsin (2 x)$ .

\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C$

Passaggio 15.4

Moltiplica

\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Moltiplica

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ per

\frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}

$\frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}$ .

\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{4 \cdot 2} + C

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{4 \cdot 2} + C$

Passaggio 15.4.2

Moltiplica

4

$4$ per

2

$2$ .

\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C$

\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C$

\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C$

Passaggio 16

Riordina i termini.

\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (2 x)) + C

$\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (2 x)) + C$

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