Calcolo Esempi

\int \sqrt{1 - x^{2}} d x

$\int \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia

x = sin (t)

$x = \sin (t)$ , dove

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora

d x = cos (t) d t

$d x = \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ,

cos (t)

$\cos (t)$ è positivo.

\int \sqrt{1 - {sin}^{2} (t)} cos (t) d t

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica

\sqrt{1 - {sin}^{2} (t)}

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica l'identità pitagorica.

\int \sqrt{{cos}^{2} (t)} cos (t) d t

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 2.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

\int cos (t) cos (t) d t

$\int \cos (t) \cos (t) d t$

\int cos (t) cos (t) d t

$\int \cos (t) \cos (t) d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Eleva

cos (t)

$\cos (t)$ alla potenza di

1

$1$ .

\int {cos}^{1} (t) cos (t) d t

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Passaggio 2.2.2

Eleva

cos (t)

$\cos (t)$ alla potenza di

1

$1$ .

\int {cos}^{1} (t) {cos}^{1} (t) d t

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Passaggio 2.2.3

Usa la regola della potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

\int {cos (t)}^{1 + 1} d t

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 2.2.4

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

\int {cos}^{2} (t) d t

$\int \cos^{2} (t) d t$

\int {cos}^{2} (t) d t

$\int \cos^{2} (t) d t$

\int {cos}^{2} (t) d t

$\int \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 3

Usa la formula di bisezione per riscrivere

{cos}^{2} (t)

$\cos^{2} (t)$ come

\frac{1 + cos (2 t)}{2}

$\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

\int \frac{1 + cos (2 t)}{2} d t

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 4

Poiché

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ è costante rispetto a

t

$t$ , sposta

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

\frac{1}{2} \int 1 + cos (2 t) d t

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

\frac{1}{2} (\int d t + \int cos (2 t) d t)

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

\frac{1}{2} (t + C + \int cos (2 t) d t)

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Passaggio 7

Sia

u = 2 t

$u = 2 t$ . Allora

d u = 2 d t

$d u = 2 d t$ , quindi

\frac{1}{2} d u = d t

$\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia

u = 2 t

$u = 2 t$ . Trova

\frac{d u}{d t}

$\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia

2 t

$2 t$ .

\frac{d}{d t} [2 t]

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 7.1.2

Poiché

2

$2$ è costante rispetto a

t

$t$ , la derivata di

2 t

$2 t$ rispetto a

t

$t$ è

2 \frac{d}{d t} [t]

$2 \frac{d}{d t} [t]$ .

2 \frac{d}{d t} [t]

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d t} [t^{n}]

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è

n t^{n - 1}

$n t^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica

2

$2$ per

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema usando

u

$u$ e

d u

$d u$ .

\frac{1}{2} (t + C + \int cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{1}{2} (t + C + \int cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 8

cos (u)

$\cos (u)$ e

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{cos (u)}{2} d u)

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 9

Poiché

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ è costante rispetto a

u

$u$ , sposta

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int cos (u) d u)

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 10

L'integrale di

cos (u)

$\cos (u)$ rispetto a

u

$u$ è

sin (u)

$\sin (u)$ .

\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (sin (u) + C))

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Passaggio 11

Semplifica.

\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} sin (u)) + C

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 12

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci tutte le occorrenze di

t

$t$ con

arcsin (x)

$\arcsin (x)$ .

\frac{1}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (u)) + C

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 12.2

Sostituisci tutte le occorrenze di

u

$u$ con

2 t

$2 t$ .

\frac{1}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 t)) + C

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Passaggio 12.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

t

$t$ con

arcsin (x)

$\arcsin (x)$ .

\frac{1}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x))) + C

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

\frac{1}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x))) + C

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

sin (2 arcsin (x))

$\sin (2 \arcsin (x))$ .

\frac{1}{2} (arcsin (x) + \frac{sin (2 arcsin (x))}{2}) + C

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Passaggio 13.2

Applica la proprietà distributiva.

\frac{1}{2} arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{sin (2 arcsin (x))}{2} + C

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

Passaggio 13.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

arcsin (x)

$\arcsin (x)$ .

\frac{arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{sin (2 arcsin (x))}{2} + C

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

Passaggio 13.4

Moltiplica

\frac{1}{2} \cdot \frac{sin (2 arcsin (x))}{2}

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Moltiplica

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ per

\frac{sin (2 arcsin (x))}{2}

$\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

\frac{arcsin (x)}{2} + \frac{sin (2 arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 13.4.2

Moltiplica

2

$2$ per

2

$2$ .

\frac{arcsin (x)}{2} + \frac{sin (2 arcsin (x))}{4} + C

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

\frac{arcsin (x)}{2} + \frac{sin (2 arcsin (x))}{4} + C

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

\frac{arcsin (x)}{2} + \frac{sin (2 arcsin (x))}{4} + C

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

Passaggio 14

Riordina i termini.

\frac{1}{2} arcsin (x) + \frac{1}{4} sin (2 arcsin (x)) + C

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$

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