Calcolo Esempi

\int x \cos (3 x) d x

$\int x \cos (3 x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , dove

u = x

$u = x$ e

d v = \cos (3 x)

$d v = \cos (3 x)$ .

x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x

$x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ e

\sin (3 x)

$\sin (3 x)$ .

x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x

$x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Passaggio 2.2

x

$x$ e

\frac{\sin (3 x)}{3}

$\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Passaggio 3

Poiché

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ è costante rispetto a

x

$x$ , sposta

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x)

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x)$

Passaggio 4

Sia

u = 3 x

$u = 3 x$ . Allora

d u = 3 d x

$d u = 3 d x$ , quindi

\frac{1}{3} d u = d x

$\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia

u = 3 x

$u = 3 x$ . Trova

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia

3 x

$3 x$ .

\frac{d}{d x} [3 x]

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché

3

$3$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

3 x

$3 x$ rispetto a

x

$x$ è

3 \frac{d}{d x} [x]

$3 \frac{d}{d x} [x]$ .

3 \frac{d}{d x} [x]

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

3 \cdot 1

$3 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica

3

$3$ per

1

$1$ .

3

$3$

3

$3$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando

u

$u$ e

d u

$d u$ .

\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Passaggio 5

\sin (u)

$\sin (u)$ e

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Passaggio 6

Poiché

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ è costante rispetto a

u

$u$ , sposta

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ per

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u$

Passaggio 7.2

Moltiplica

3

$3$ per

3

$3$ .

\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u$

\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u$

Passaggio 8

L'integrale di

\sin (u)

$\sin (u)$ rispetto a

u

$u$ è

- \cos (u)

$- \cos (u)$ .

\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$

Passaggio 9

Riscrivi

\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$ come

\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$ .

\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di

u

$u$ con

3 x

$3 x$ .

\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9} + C

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

\frac{1}{3} x \sin (3 x) + \frac{1}{9} \cos (3 x) + C

$\frac{1}{3} x \sin (3 x) + \frac{1}{9} \cos (3 x) + C$

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