Calcolo Esempi

\int \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} d x

$\int \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} d x$

Passaggio 1

Dividi

x^{2} + 1

$x^{2} + 1$ per

x^{2} - 1

$x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di

0

$0$ .

x^{2}

$x^{2}$

0 x

$0 x$

1

$1$

x^{2}

$x^{2}$

0 x

$0 x$

1

$1$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

x^{2}

$x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore

x^{2}

$x^{2}$ .

							$1$ $1$
	$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$1$ $1$		$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$1$ $1$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$1$ $1$
$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$1$ $1$		$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$1$ $1$
					+	$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0$ $0$	-	$1$ $1$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

x^{2} + 0 - 1

$x^{2} + 0 - 1$

						$1$ $1$
$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$1$ $1$		$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$1$ $1$
					-	$x^{2}$ $x^{2}$	-	$0$ $0$	+	$1$ $1$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

						$1$ $1$
$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$1$ $1$		$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$1$ $1$
					-	$x^{2}$ $x^{2}$	-	$0$ $0$	+	$1$ $1$
									+	$2$ $2$

Passaggio 1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

\int 1 + \frac{2}{x^{2} - 1} d x

$\int 1 + \frac{2}{x^{2} - 1} d x$

\int 1 + \frac{2}{x^{2} - 1} d x

$\int 1 + \frac{2}{x^{2} - 1} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

\int d x + \int \frac{2}{x^{2} - 1} d x

$\int d x + \int \frac{2}{x^{2} - 1} d x$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

x + C + \int \frac{2}{x^{2} - 1} d x

$x + C + \int \frac{2}{x^{2} - 1} d x$

Passaggio 4

Poiché

2

$2$ è costante rispetto a

x

$x$ , sposta

2

$2$ fuori dall'integrale.

x + C + 2 \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x

$x + C + 2 \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Passaggio 5

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Riscrivi

1

$1$ come

1^{2}

$1^{2}$ .

\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 5.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

a = x

$a = x$ e

b = 1

$b = 1$ .

\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto

A

$A$ .

\frac{A}{x + 1}

$\frac{A}{x + 1}$

Passaggio 5.1.3

B

$B$ .

\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è

(x + 1) (x - 1)

$(x + 1) (x - 1)$ .

\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 5.1.5

Elimina il fattore comune di

x + 1

$x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Elimina il fattore comune.

\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 5.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 5.1.6

Elimina il fattore comune di

x - 1

$x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Elimina il fattore comune.

\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 5.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 5.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.1

Elimina il fattore comune di

x + 1

$x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 5.1.7.1.2

Dividi

(A) (x - 1)

$(A) (x - 1)$ per

1

$1$ .

1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 5.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 5.1.7.3

Sposta

- 1

$- 1$ alla sinistra di

A

$A$ .

1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 5.1.7.4

Riscrivi

- 1 A

$- 1 A$ come

- A

$- A$ .

1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 5.1.7.5

Elimina il fattore comune di

x - 1

$x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.5.1

Elimina il fattore comune.

1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 5.1.7.5.2

Dividi

(B) (x + 1)

$(B) (x + 1)$ per

1

$1$ .

1 = A x - A + (B) (x + 1)

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

1 = A x - A + (B) (x + 1)

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Passaggio 5.1.7.6

Applica la proprietà distributiva.

1 = A x - A + B x + B \cdot 1

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Passaggio 5.1.7.7

Moltiplica

B

$B$ per

1

$1$ .

1 = A x - A + B x + B

$1 = A x - A + B x + B$

1 = A x - A + B x + B

$1 = A x - A + B x + B$

Passaggio 5.1.8

Sposta

- A

$- A$ .

1 = A x + B x - A + B

$1 = A x + B x - A + B$

1 = A x + B x - A + B

$1 = A x + B x - A + B$

Passaggio 5.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di

x

$x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

0 = A + B

$0 = A + B$

Passaggio 5.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono

x

$x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

1 = - 1 A + B

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 5.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

0 = A + B

$0 = A + B$

1 = - 1 A + B

$1 = - 1 A + B$

0 = A + B

$0 = A + B$

1 = - 1 A + B

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 5.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Risolvi per

A

$A$ in

0 = A + B

$0 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Riscrivi l'equazione come

A + B = 0

$A + B = 0$ .

A + B = 0

$A + B = 0$

1 = - 1 A + B

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 5.3.1.2

Sottrai

B

$B$ da entrambi i lati dell'equazione.

A = - B

$A = - B$

1 = - 1 A + B

$1 = - 1 A + B$

A = - B

$A = - B$

1 = - 1 A + B

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 5.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di

A

$A$ con

- B

$- B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di

A

$A$ in

1 = - 1 A + B

$1 = - 1 A + B$ con

- B

$- B$ .

1 = - 1 (- B) + B

$1 = - 1 (- B) + B$

A = - B

$A = - B$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Semplifica

- 1 (- B) + B

$- 1 (- B) + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1

Moltiplica

- 1 (- B)

$- 1 (- B)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

1 = 1 B + B

$1 = 1 B + B$

A = - B

$A = - B$

Passaggio 5.3.2.2.1.1.2

Moltiplica

B

$B$ per

1

$1$ .

1 = B + B

$1 = B + B$

A = - B

$A = - B$

1 = B + B

$1 = B + B$

A = - B

$A = - B$

Passaggio 5.3.2.2.1.2

Somma

B

$B$ e

B

$B$ .

1 = 2 B

$1 = 2 B$

A = - B

$A = - B$

1 = 2 B

$1 = 2 B$

A = - B

$A = - B$

1 = 2 B

$1 = 2 B$

A = - B

$A = - B$

1 = 2 B

$1 = 2 B$

A = - B

$A = - B$

Passaggio 5.3.3

Risolvi per

B

$B$ in

1 = 2 B

$1 = 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Riscrivi l'equazione come

2 B = 1

$2 B = 1$ .

2 B = 1

$2 B = 1$

A = - B

$A = - B$

Passaggio 5.3.3.2

Dividi per

2

$2$ ciascun termine in

2 B = 1

$2 B = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Dividi per

2

$2$ ciascun termine in

2 B = 1

$2 B = 1$ .

\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

A = - B

$A = - B$

Passaggio 5.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

A = - B

$A = - B$

Passaggio 5.3.3.2.2.1.2

Dividi

B

$B$ per

1

$1$ .

B = \frac{1}{2}

$B = \frac{1}{2}$

A = - B

$A = - B$

B = \frac{1}{2}

$B = \frac{1}{2}$

A = - B

$A = - B$

B = \frac{1}{2}

$B = \frac{1}{2}$

A = - B

$A = - B$

B = \frac{1}{2}

$B = \frac{1}{2}$

A = - B

$A = - B$

B = \frac{1}{2}

$B = \frac{1}{2}$

A = - B

$A = - B$

Passaggio 5.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di

B

$B$ con

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di

B

$B$ in

A = - B

$A = - B$ con

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

A = - (\frac{1}{2})

$A = - (\frac{1}{2})$

B = \frac{1}{2}

$B = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

A = - \frac{1}{2}

$A = - \frac{1}{2}$

B = \frac{1}{2}

$B = \frac{1}{2}$

A = - \frac{1}{2}

$A = - \frac{1}{2}$

B = \frac{1}{2}

$B = \frac{1}{2}$

A = - \frac{1}{2}

$A = - \frac{1}{2}$

B = \frac{1}{2}

$B = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in

\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ con i valori trovati per

A

$A$ e

B

$B$ .

\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica

\frac{1}{x + 1}

$\frac{1}{x + 1}$ per

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Passaggio 5.5.3

Sposta

2

$2$ alla sinistra di

x + 1

$x + 1$ .

- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Passaggio 5.5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Passaggio 5.5.5

Moltiplica

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ per

\frac{1}{x - 1}

$\frac{1}{x - 1}$ .

x + C + 2 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x

$x + C + 2 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

x + C + 2 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x

$x + C + 2 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

x + C + 2 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x

$x + C + 2 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

x + C + 2 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)

$x + C + 2 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Passaggio 7

Poiché

- 1

$- 1$ è costante rispetto a

x

$x$ , sposta

- 1

$- 1$ fuori dall'integrale.

x + C + 2 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)

$x + C + 2 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Passaggio 8

Poiché

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ è costante rispetto a

x

$x$ , sposta

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

x + C + 2 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)

$x + C + 2 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Passaggio 9

Sia

u_{1} = x + 1

$u_{1} = x + 1$ . Allora

d u_{1} = d x

$d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando

u_{1}

$u_{1}$ e

d

$d$

u_{1}

$u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia

u_{1} = x + 1

$u_{1} = x + 1$ . Trova

\frac{d u_{1}}{d x}

$\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia

x + 1

$x + 1$ .

\frac{d}{d x} [x + 1]

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

x + 1

$x + 1$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

1 + \frac{d}{d x} [1]

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 9.1.4

Poiché

1

$1$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

1

$1$ rispetto a

x

$x$ è

0

$0$ .

1 + 0

$1 + 0$

Passaggio 9.1.5

Somma

1

$1$ e

0

$0$ .

1

$1$

1

$1$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema utilizzando

u_{1}

$u_{1}$ e

d u_{1}

$d u_{1}$ .

x + C + 2 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

x + C + 2 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Passaggio 10

L'integrale di

\frac{1}{u_{1}}

$\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a

u_{1}

$u_{1}$ è

ln (| u_{1} |)

$\ln (| u_{1} |)$ .

x + C + 2 (- \frac{1}{2} (ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Passaggio 11

Poiché

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ è costante rispetto a

x

$x$ , sposta

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

x + C + 2 (- \frac{1}{2} (ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Passaggio 12

Sia

u_{2} = x - 1

$u_{2} = x - 1$ . Allora

d u_{2} = d x

$d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando

u_{2}

$u_{2}$ e

d

$d$

u_{2}

$u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sia

u_{2} = x - 1

$u_{2} = x - 1$ . Trova

\frac{d u_{2}}{d x}

$\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Differenzia

x - 1

$x - 1$ .

\frac{d}{d x} [x - 1]

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 12.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

x - 1

$x - 1$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 12.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

1 + \frac{d}{d x} [- 1]

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 12.1.4

Poiché

- 1

$- 1$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

- 1

$- 1$ rispetto a

x

$x$ è

0

$0$ .

1 + 0

$1 + 0$

Passaggio 12.1.5

Somma

1

$1$ e

0

$0$ .

1

$1$

1

$1$

Passaggio 12.2

Riscrivi il problema utilizzando

u_{2}

$u_{2}$ e

d u_{2}

$d u_{2}$ .

x + C + 2 (- \frac{1}{2} (ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

x + C + 2 (- \frac{1}{2} (ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 13

L'integrale di

\frac{1}{u_{2}}

$\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a

u_{2}

$u_{2}$ è

ln (| u_{2} |)

$\ln (| u_{2} |)$ .

x + C + 2 (- \frac{1}{2} (ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (ln (| u_{2} |) + C))

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Passaggio 14

Semplifica.

x + 2 (- \frac{1}{2} ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} ln (| u_{2} |)) + C

$x + 2 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C$

Passaggio 15

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci tutte le occorrenze di

u_{1}

$u_{1}$ con

x + 1

$x + 1$ .

x + 2 (- \frac{1}{2} ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} ln (| u_{2} |)) + C

$x + 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C$

Passaggio 15.2

Sostituisci tutte le occorrenze di

u_{2}

$u_{2}$ con

x - 1

$x - 1$ .

x + 2 (- \frac{1}{2} ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} ln (| x - 1 |)) + C

$x + 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C$

x + 2 (- \frac{1}{2} ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} ln (| x - 1 |)) + C

$x + 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C$

Passaggio 16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

ln (| x + 1 |)

$\ln (| x + 1 |)$ e

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

x + 2 (- \frac{ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} ln (| x - 1 |)) + C

$x + 2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C$

Passaggio 16.1.2

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

ln (| x - 1 |)

$\ln (| x - 1 |)$ .

x + 2 (- \frac{ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{ln (| x - 1 |)}{2}) + C

$x + 2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2}) + C$

x + 2 (- \frac{ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{ln (| x - 1 |)}{2}) + C

$x + 2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2}) + C$

Passaggio 16.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

x + 2 \frac{- ln (| x + 1 |) + ln (| x - 1 |)}{2} + C

$x + 2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C$

Passaggio 16.3

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.1

Elimina il fattore comune.

x + 2 \frac{- ln (| x + 1 |) + ln (| x - 1 |)}{2} + C

$x + 2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C$

Passaggio 16.3.2

Riscrivi l'espressione.

x - ln (| x + 1 |) + ln (| x - 1 |) + C

$x - \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |) + C$

x - ln (| x + 1 |) + ln (| x - 1 |) + C

$x - \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |) + C$

x - ln (| x + 1 |) + ln (| x - 1 |) + C

$x - \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |) + C$

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