Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{3} + x}{x^{3} - 1} d x$

Passaggio 1

Dividi $x^{3} + x$ per $x^{3} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{3}$ .

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$1$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 0 + 0 - 1$

								$1$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$1$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

								$1$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$1$
											+	$x$	+	$1$

Passaggio 1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 1 + \frac{x + 1}{x^{3} - 1} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d x + \int \frac{x + 1}{x^{3} - 1} d x$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$x + C + \int \frac{x + 1}{x^{3} - 1} d x$

Passaggio 4

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{x + 1}{x^{3} - 1^{3}}$

Passaggio 4.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 4.1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.3.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

Passaggio 4.1.1.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Passaggio 4.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Passaggio 4.1.3

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 4.1.5

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 4.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 4.1.6

Elimina il fattore comune di $x^{2} + x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 4.1.6.2

Dividi $x + 1$ per $1$ .

$x + 1 = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 4.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$x + 1 = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 4.1.7.1.2

Dividi $(A) (x^{2} + x + 1)$ per $1$ .

$x + 1 = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 4.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 4.1.7.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 4.1.7.4

Elimina il fattore comune di $x^{2} + x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 4.1.7.4.2

Dividi $(B x + C) (x - 1)$ per $1$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

Passaggio 4.1.7.5

Espandi $(B x + C) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

Passaggio 4.1.7.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

Passaggio 4.1.7.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Passaggio 4.1.7.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.6.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.6.1.1

Sposta $x$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Passaggio 4.1.7.6.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Passaggio 4.1.7.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $B x$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

Passaggio 4.1.7.6.3

Riscrivi $- 1 (B x)$ come $- (B x)$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

Passaggio 4.1.7.6.4

Sposta $- 1$ alla sinistra di $C$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

Passaggio 4.1.7.6.5

Riscrivi $- 1 C$ come $- C$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Passaggio 4.1.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.1

Riordina $B$ e $x^{2}$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Passaggio 4.1.8.2

Sposta $B$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

Passaggio 4.1.8.3

Sposta $A$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

Passaggio 4.1.8.4

Sposta $A x$ .

$x + 1 = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

Passaggio 4.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 4.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A - 1 B + C$

Passaggio 4.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A - 1 C$

Passaggio 4.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

$0 = A + B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

Passaggio 4.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Risolvi per $A$ in $0 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

Passaggio 4.3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

$A = - B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

Passaggio 4.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = A - 1 B + C$ con $- B$ .

$1 = (- B) - 1 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Semplifica $(- B) - 1 B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$1 = - B - B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

Passaggio 4.3.2.2.1.2

Sottrai $B$ da $- B$ .

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

Passaggio 4.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = A - 1 C$ con $- B$ .

$1 = (- B) - 1 C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

Passaggio 4.3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.1

Riscrivi $- 1 C$ come $- C$ .

$1 = - B - C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = - B - C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = - B - C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

Passaggio 4.3.3

Risolvi per $C$ in $1 = - 2 B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 B + C = 1$ .

$- 2 B + C = 1$

$1 = - B - C$

$A = - B$

Passaggio 4.3.3.2

Somma $2 B$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = 1 + 2 B$

$1 = - B - C$

$A = - B$

$C = 1 + 2 B$

$1 = - B - C$

$A = - B$

Passaggio 4.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $1 + 2 B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $1 = - B - C$ con $1 + 2 B$ .

$1 = - B - (1 + 2 B)$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Passaggio 4.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1

Semplifica $- B - (1 + 2 B)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 = - B - 1 \cdot 1 - (2 B)$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Passaggio 4.3.4.2.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 = - B - 1 - (2 B)$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Passaggio 4.3.4.2.1.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$1 = - B - 1 - 2 B$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - B - 1 - 2 B$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Passaggio 4.3.4.2.1.2

Sottrai $2 B$ da $- B$ .

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Passaggio 4.3.5

Risolvi per $B$ in $1 = - 3 B - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 B - 1 = 1$ .

$- 3 B - 1 = 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Passaggio 4.3.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 B = 1 + 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Passaggio 4.3.5.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$- 3 B = 2$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$- 3 B = 2$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Passaggio 4.3.5.3

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 B = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.3.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 B = 2$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Passaggio 4.3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Passaggio 4.3.5.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Passaggio 4.3.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Passaggio 4.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- \frac{2}{3}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $C = 1 + 2 B$ con $- \frac{2}{3}$ .

$C = 1 + 2 (- \frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Passaggio 4.3.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.2.1

Semplifica $1 + 2 (- \frac{2}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.2.1.1.1

Moltiplica $2 (- \frac{2}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.2.1.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$C = 1 - 2 (\frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Passaggio 4.3.6.2.1.1.1.2

$- 2$ e $\frac{2}{3}$ .

$C = 1 + \frac{- 2 \cdot 2}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Passaggio 4.3.6.2.1.1.1.3

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$C = 1 + \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = 1 + \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Passaggio 4.3.6.2.1.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$C = 1 - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = 1 - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Passaggio 4.3.6.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.2.1.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$C = \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Passaggio 4.3.6.2.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$C = \frac{3 - 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Passaggio 4.3.6.2.1.2.3

Sottrai $4$ da $3$ .

$C = \frac{- 1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Passaggio 4.3.6.2.1.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Passaggio 4.3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - B$ con $- \frac{2}{3}$ .

$A = - (- \frac{2}{3})$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Passaggio 4.3.6.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.4.1

Moltiplica $- (- \frac{2}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A = 1 (\frac{2}{3})$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Passaggio 4.3.6.4.1.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Passaggio 4.3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{2}{3}, C = - \frac{1}{3}, B = - \frac{2}{3}$

Passaggio 4.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{2}{3 x} - \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.1

Moltiplica $\frac{- \frac{2}{3} \cdot x - \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3}{3} \cdot \frac{- \frac{2}{3} x - \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 4.5.1.2

Combina.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x - \frac{1}{3})}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Passaggio 4.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) + 3 (- \frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3}$ nel numeratore.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) + 3 (\frac{- 1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) + 3 (\frac{- 1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.1

$x$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{x \cdot 2}{3}) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.4.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x \cdot 2}{3}$ nel numeratore.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{- x \cdot 2}{3}) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{- x \cdot 2}{3}) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- x \cdot 2 - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.4.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.5.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.5.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.5.1.2

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.5.1.3

Scomponi $3$ da $3 \cdot 1$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 (1)}$

Passaggio 4.5.5.1.4

Scomponi $3$ da $3 (x^{2}) + 3 (x)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2} + x) + 3 (1)}$

Passaggio 4.5.5.1.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} + x) + 3 (1)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Passaggio 4.5.5.2

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- (2 x) - 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Passaggio 4.5.5.3

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- (2 x) - 1 \cdot 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Passaggio 4.5.5.4

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Passaggio 4.5.5.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.5.5.1

Riscrivi $- (2 x + 1)$ come $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 1 (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Passaggio 4.5.5.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Passaggio 4.5.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Passaggio 4.5.7

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{x - 1}$ .

$x + C + \int \frac{2}{3 (x - 1)} - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$x + C + \int \frac{2}{3 (x - 1)} d x + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Passaggio 7

Sia $u_{1} = x - 1$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 7.1

Sia $u_{1} = x - 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 7.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 7.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{3} \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1} d x)$

Passaggio 11

Sia $u_{2} = x^{2} + x + 1$ . Allora $d u_{2} = (2 x + 1) d x$ , quindi $\frac{1}{2 x + 1} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sia $u_{2} = x^{2} + x + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Differenzia $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Passaggio 11.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 11.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 11.1.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Passaggio 11.1.6

Somma $2 x + 1$ e $0$ .

$2 x + 1$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 12

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

$x + \frac{2}{3} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 1$ .

$x + \frac{2}{3} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} + x + 1$ .

$x + \frac{2}{3} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{3} \ln (| x^{2} + x + 1 |) + C$

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