Calcolo Esempi

$\sum_{k = 1}^{\infty} k e^{k^{2}}$

Passaggio 1

Verifica se la funzione è continua sui limiti della sommatoria.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${k | k \in ℝ}$

Passaggio 1.2

$f (k)$ è continua su $[1, \infty)$ .

$La funzione è continua.$

Passaggio 2

Verifica se la funzione è positiva sui limiti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta una diseguaglianza.

$k e^{k^{2}} > 0$

Passaggio 2.2

Risolvi la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$k = 0$

$e^{k^{2}} = 0$

Passaggio 2.2.2

Imposta $k$ uguale a $0$ .

$k = 0$

Passaggio 2.2.3

Imposta $e^{k^{2}}$ uguale a $0$ e risolvi per $k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Imposta $e^{k^{2}}$ uguale a $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Risolvi $e^{k^{2}} = 0$ per $k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

Passaggio 2.2.3.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.2.3.2.3

Non c'è soluzione per $e^{k^{2}} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $k e^{k^{2}} > 0$ vera.

$k = 0$

Passaggio 2.2.5

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$k > 0$

Passaggio 3

Determina dove la funzione è decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scrivi $k e^{k^{2}}$ come funzione.

$f (k) = k e^{k^{2}}$

Passaggio 3.2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ è $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ dove $f (k) = k$ e $g (k) = e^{k^{2}}$ .

$k \frac{d}{d k} [e^{k^{2}}] + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Passaggio 3.2.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ è $f' (g (k)) g' (k)$ dove $f (k) = e^{k}$ e $g (k) = k^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $k^{2}$ .

$k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Passaggio 3.2.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$k (e^{u} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Passaggio 3.2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $k^{2}$ .

$k (e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Passaggio 3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ è $n k^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$k (e^{k^{2}} (2 k)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Passaggio 3.2.1.4

Eleva $k$ alla potenza di $1$ .

$k^{1} k (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Passaggio 3.2.1.5

Eleva $k$ alla potenza di $1$ .

$k^{1} k^{1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Passaggio 3.2.1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$k^{1 + 1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Passaggio 3.2.1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.7.1

Somma $1$ e $1$ .

$k^{2} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Passaggio 3.2.1.7.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{k^{2}}$ .

$k^{2} (2 \cdot e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Passaggio 3.2.1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ è $n k^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \cdot 1$

Passaggio 3.2.1.9

Moltiplica $e^{k^{2}}$ per $1$ .

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}}$

Passaggio 3.2.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.10.1

Riordina i termini.

$2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$

Passaggio 3.2.1.10.2

Riordina i fattori in $2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$ .

$f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

Passaggio 3.2.2

La derivata prima di $f (k)$ rispetto a $k$ è $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ .

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

Passaggio 3.3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $e^{k^{2}}$ da $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Scomponi $e^{k^{2}}$ da $2 k^{2} e^{k^{2}}$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica per $1$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1 = 0$

Passaggio 3.3.2.3

Scomponi $e^{k^{2}}$ da $e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$

Passaggio 3.3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

$2 k^{2} + 1 = 0$

Passaggio 3.3.4

Imposta $e^{k^{2}}$ uguale a $0$ e risolvi per $k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Imposta $e^{k^{2}}$ uguale a $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

Passaggio 3.3.4.2

Risolvi $e^{k^{2}} = 0$ per $k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

Passaggio 3.3.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 3.3.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{k^{2}} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 3.3.5

Imposta $2 k^{2} + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Imposta $2 k^{2} + 1$ uguale a $0$ .

$2 k^{2} + 1 = 0$

Passaggio 3.3.5.2

Risolvi $2 k^{2} + 1 = 0$ per $k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 k^{2} = - 1$

Passaggio 3.3.5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 k^{2} = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 k^{2} = - 1$ .

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 3.3.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 3.3.5.2.2.2.1.2

Dividi $k^{2}$ per $1$ .

$k^{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 3.3.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$k^{2} = - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.3.5.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$k = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 3.3.5.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.4.1

Riscrivi $- \frac{1}{2}$ come $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.4.1.1

Riscrivi $- 1$ come $i^{2}$ .

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Passaggio 3.3.5.2.4.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Passaggio 3.3.5.2.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$k = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Passaggio 3.3.5.2.4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$k = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.3.5.2.4.4

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{2}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.3.5.2.4.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$k = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.3.5.2.4.6

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Passaggio 3.3.5.2.4.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.4.7.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.3.5.2.4.7.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.3.5.2.4.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 3.3.5.2.4.7.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.3.5.2.4.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.2.4.7.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.2.4.7.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.5.2.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.3.5.2.4.7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.4.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.3.5.2.4.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 3.3.5.2.4.7.6.5

Calcola l'esponente.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3.5.2.4.8

$i$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$k = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3.5.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3.5.2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$k = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3.5.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$ vera.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.4

Non ci sono valori di $k$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 3.5

Nessun punto rende la derivata $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ uguale a $0$ o indefinita. L'intervallo per verificare se $f (k) = k e^{k^{2}}$ è crescente o decrescente è $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 3.6

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(- \infty, \infty)$ nella derivata $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ per verificare se il risultato è positivo o negativo. Se è negativo, il grafico è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ . Se è positivo, il grafico è crescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Sostituisci la variabile $k$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 2 {(1)}^{2} e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 2 \cdot (1 e^{{(1)}^{2}}) + e^{{(1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (1) = 2 e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2.1.4

Semplifica.

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 2 e + e$

Passaggio 3.6.2.1.6

Semplifica.

$f' (1) = 2 e + e$

Passaggio 3.6.2.2

Somma $2 e$ e $e$ .

$f' (1) = 3 e$

Passaggio 3.6.2.3

La risposta finale è $3 e$ .

$3 e$

Passaggio 3.7

Il risultato della sostituzione di $1$ in $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ è $3 e$ , che è positivo; quindi, il grafico è crescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ .

Crescente su $(- \infty, \infty)$ perché $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} > 0$

Passaggio 3.8

Crescente sull'intervallo $(- \infty, \infty)$ significa che la funzione è sempre crescente.

$Sempre crescente$

Passaggio 4

Il criterio dell'integrale non si applica in quanto la funzione non è sempre decrescente da $1$ a $\infty$ .

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