Calcolo Esempi

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2}}$

Passaggio 1

Per determinare se la serie è convergente, determina se l'integrale della sequenza è convergente.

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x)]_{1}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{1}^{t}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola $\arctan (x)$ per $t$ e per $1$ .

$lim_{t \to \infty} (\arctan (t)) - \arctan (1)$

Passaggio 5.2

Rimuovi le parentesi.

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)$

Passaggio 6

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

Passaggio 6.2

Il limite per $t$ tendente a $\infty$ è $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

Passaggio 6.3

Calcola il limite di $\arctan (1)$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$\frac{π}{2} - \arctan (1)$

Passaggio 6.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.4.2

Per scrivere $\frac{π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.4.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.4.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Passaggio 6.4.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.4.5.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{2 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 6.4.5.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$\frac{π}{4}$

Passaggio 7

Poiché l'integrale è convergente, la serie è convergente.

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