Calcolo Esempi

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2}}

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2}}$

Passaggio 1

Per determinare se la serie è convergente, determina se l'integrale della sequenza è convergente.

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2

Scrivi l'integrale come un limite per

t

$t$ tendente a

\infty

$\infty$ .

lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 3

Riscrivi

1

$1$ come

1^{2}

$1^{2}$ .

lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 4

L'integrale di

\frac{1}{1^{2} + x^{2}}

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a

x

$x$ è

\arctan (x)]_{1}^{t}

$\arctan (x)]_{1}^{t}$ .

lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{1}^{t}

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{1}^{t}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola

\arctan (x)

$\arctan (x)$ per

t

$t$ e per

1

$1$ .

lim_{t \to \infty} (\arctan (t)) - \arctan (1)

$lim_{t \to \infty} (\arctan (t)) - \arctan (1)$

Passaggio 5.2

Rimuovi le parentesi.

lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)$

lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)$

Passaggio 6

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando

t

$t$ tende a

\infty

$\infty$ .

lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (1)

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

Passaggio 6.2

Il limite per

t

$t$ tendente a

\infty

$\infty$ è

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (1)

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

Passaggio 6.3

Calcola il limite di

\arctan (1)

$\arctan (1)$ che è costante, mentre

t

$t$ tende a

\infty

$\infty$ .

\frac{π}{2} - \arctan (1)

$\frac{π}{2} - \arctan (1)$

Passaggio 6.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Il valore esatto di

\arctan (1)

$\arctan (1)$ è

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

\frac{π}{2} - \frac{π}{4}

$\frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.4.2

Per scrivere

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}

$\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.4.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di

4

$4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1

Moltiplica

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ per

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}

$\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.4.3.2

Moltiplica

2

$2$ per

2

$2$ .

\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}

$\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}

$\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

\frac{π \cdot 2 - π}{4}

$\frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Passaggio 6.4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.5.1

Sposta

2

$2$ alla sinistra di

π

$π$ .

\frac{2 \cdot π - π}{4}

$\frac{2 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 6.4.5.2

Sottrai

π

$π$ da

2 π

$2 π$ .

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$

Passaggio 7

Poiché l'integrale è convergente, la serie è convergente.

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