Calcolo Esempi

$135$ , $45$ , $15$

Passaggio 1

Questa è una progressione geometrica poiché c'è un rapporto costante tra ogni termine e quello che lo precede. In questo caso, moltiplicando per $\frac{1}{3}$ un termine si ottiene il termine successivo. In altre parole, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Progressione geometrica: $r = \frac{1}{3}$

Passaggio 2

Questa è la forma di una progressione geometrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori di $a_{1} = 135$ e $r = \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 135 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Passaggio 4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 135 \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Passaggio 5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$a_{n} = 135 \frac{1}{3^{n - 1}}$

Passaggio 6

$135$ e $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{135}{3^{n - 1}}$

Passaggio 7

Questa è la formula per trovare la somma dei primi $n$ termini della progressione geometrica. Per calcolarla, trova i valori di $r$ e $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Passaggio 8

Sostituisci le variabili con i valori noti per trovare $S_{5}$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{5} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1^{5}}{3^{5}} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 9.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{3^{5}} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 9.3

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 9.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{243}{243}$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} - 1 \cdot \frac{243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 9.5

$- 1$ e $\frac{243}{243}$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} + \frac{- 1 \cdot 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 9.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 9.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.1

Moltiplica $- 1$ per $243$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1 - 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 9.7.2

Sottrai $243$ da $1$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{- 242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 9.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 10

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 10.2

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 10.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 10.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1 - 3}{3}}$

Passaggio 10.4.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{- 2}{3}}$

Passaggio 10.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 11

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{242}{243}}{\frac{2}{3}}$

Passaggio 12

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2})$

Passaggio 13

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Scomponi $2$ da $242$ .

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{2 (121)}{243} \cdot \frac{3}{2})$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune.

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{2 \cdot 121}{243} \cdot \frac{3}{2})$

Passaggio 13.3

Riscrivi l'espressione.

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{121}{243} \cdot 3)$

Passaggio 14

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Scomponi $3$ da $243$ .

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{121}{3 (81)} \cdot 3)$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune.

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{121}{3 \cdot 81} \cdot 3)$

Passaggio 14.3

Riscrivi l'espressione.

$S_{5} = 135 \cdot \frac{121}{81}$

Passaggio 15

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Scomponi $27$ da $135$ .

$S_{5} = 27 (5) \cdot \frac{121}{81}$

Passaggio 15.2

Scomponi $27$ da $81$ .

$S_{5} = 27 \cdot 5 \cdot \frac{121}{27 \cdot 3}$

Passaggio 15.3

Elimina il fattore comune.

$S_{5} = 27 \cdot 5 \cdot \frac{121}{27 \cdot 3}$

Passaggio 15.4

Riscrivi l'espressione.

$S_{5} = 5 \cdot \frac{121}{3}$

Passaggio 16

$5$ e $\frac{121}{3}$ .

$S_{5} = \frac{5 \cdot 121}{3}$

Passaggio 17

Moltiplica $5$ per $121$ .

$S_{5} = \frac{605}{3}$

Passaggio 18

Converti la frazione in un decimale.

$S_{5} = 201.\overline{6}$

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