Calcolo Esempi

\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n}

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n}$

Passaggio 1

Per una serie infinita

\sum_{}^{} a_{n}

$\sum_{}^{} a_{n}$ , trova il limite

L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ per determinare la convergenza utilizzando il criterio della radice di Cauchy.

L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Passaggio 2

Sostituisci

a_{n}

$a_{n}$ .

L = lim_{n \to \infty} {| {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n} |}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta l'esponente nel valore assoluto.

L = lim_{n \to \infty} | {({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}} |

$L = lim_{n \to \infty} | {({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}} |$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in

{({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}}

${({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di

n

$n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |$

L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |$

L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |$

Passaggio 3.3

Semplifica.

L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta il limite all'interno dei segni di valore assoluto.

L = | lim_{n \to \infty} \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

Passaggio 4.2

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di

n

$n$ nel denominatore, che è

n^{3}

$n^{3}$ .

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Passaggio 4.3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Elimina il fattore comune di

n

$n$ e

n^{3}

$n^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.1

Scomponi

n

$n$ da

2 n

$2 n$ .

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Passaggio 4.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.2.1

Scomponi

n

$n$ da

n^{3}

$n^{3}$ .

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Passaggio 4.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Passaggio 4.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Passaggio 4.3.1.2

Elimina il fattore comune di

n^{3}

$n^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Passaggio 4.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Passaggio 4.3.2

Elimina il fattore comune di

n^{3}

$n^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Elimina il fattore comune.

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Passaggio 4.3.2.2

Dividi

5

$5$ per

1

$1$ .

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Passaggio 4.3.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando

n

$n$ tende a

\infty

$\infty$ .

L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Passaggio 4.3.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando

n

$n$ tende a

\infty

$\infty$ .

L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Passaggio 4.3.5

Sposta il termine

2

$2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

n

$n$ .

L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Passaggio 4.4

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione

\frac{1}{n^{2}}

$\frac{1}{n^{2}}$ tende a

0

$0$ .

L = | \frac{2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Passaggio 4.5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Calcola il limite di

1

$1$ che è costante, mentre

n

$n$ tende a

\infty

$\infty$ .

L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Passaggio 4.5.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando

n

$n$ tende a

\infty

$\infty$ .

L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

Passaggio 4.5.3

Calcola il limite di

5

$5$ che è costante, mentre

n

$n$ tende a

\infty

$\infty$ .

L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

Passaggio 4.6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione

\frac{1}{n^{3}}

$\frac{1}{n^{3}}$ tende a

0

$0$ .

L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + 0} |

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + 0} |$

Passaggio 4.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1.1

Moltiplica

2

$2$ per

0

$0$ .

L = | \frac{0 + 1}{5 + 0} |

$L = | \frac{0 + 1}{5 + 0} |$

Passaggio 4.7.1.2

Somma

0

$0$ e

1

$1$ .

L = | \frac{1}{5 + 0} |

$L = | \frac{1}{5 + 0} |$

L = | \frac{1}{5 + 0} |

$L = | \frac{1}{5 + 0} |$

Passaggio 4.7.2

Somma

5

$5$ e

0

$0$ .

L = | \frac{1}{5} |

$L = | \frac{1}{5} |$

Passaggio 4.7.3

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ corrisponde approssimativamente a

0.2

$0.2$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

L = \frac{1}{5}

$L = \frac{1}{5}$

L = \frac{1}{5}

$L = \frac{1}{5}$

Passaggio 4.8

Dividi

1

$1$ per

5

$5$ .

L = 0.2

$L = 0.2$

L = 0.2

$L = 0.2$

Passaggio 5

L < 1

$L < 1$ , la serie è assolutamente convergente. Se

L > 1

$L > 1$ , la serie è divergente. Se

L = 1

$L = 1$ , il criterio non è conclusivo. In questo caso,

L < 1

$L < 1$ .

La serie è convergente in

[1, \infty)

$[1, \infty)$

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