Calcolo Esempi
∞∑n=0(-2)nn∞∑n=0(−2)nn
Passaggio 1
Per una serie infinita ∑an∑an, trova il limite L=limn→∞|an|1nL=limn→∞|an|1n per determinare la convergenza utilizzando il criterio della radice di Cauchy.
L=limn→∞|an|1nL=limn→∞|an|1n
Passaggio 2
Sostituisci anan.
L=limn→∞|(-2)nn|1nL=limn→∞∣∣∣(−2)nn∣∣∣1n
Passaggio 3
Passaggio 3.1
Sposta l'esponente nel valore assoluto.
L=limn→∞|((-2)nn)1n|L=limn→∞∣∣
∣∣((−2)nn)1n∣∣
∣∣
Passaggio 3.2
Applica la regola del prodotto a (-2)nn(−2)nn.
L=limn→∞|((-2)n)1nn1n|L=limn→∞∣∣
∣∣((−2)n)1nn1n∣∣
∣∣
Passaggio 3.3
Moltiplica gli esponenti in ((-2)n)1n((−2)n)1n.
Passaggio 3.3.1
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, (am)n=amn(am)n=amn.
L=limn→∞|(-2)n1nn1n|L=limn→∞∣∣
∣∣(−2)n1nn1n∣∣
∣∣
Passaggio 3.3.2
Elimina il fattore comune di nn.
Passaggio 3.3.2.1
Elimina il fattore comune.
L=limn→∞|(-2)n1nn1n|
Passaggio 3.3.2.2
Riscrivi l'espressione.
L=limn→∞|(-2)1n1n|
L=limn→∞|(-2)1n1n|
L=limn→∞|(-2)1n1n|
Passaggio 3.4
Calcola l'esponente.
L=limn→∞|-2n1n|
L=limn→∞|-2n1n|
Passaggio 4
Passaggio 4.1
Calcola il limite.
Passaggio 4.1.1
Sposta il limite all'interno dei segni di valore assoluto.
L=|limn→∞-2n1n|
Passaggio 4.1.2
Sposta il termine -2 fuori dal limite perché è costante rispetto a n.
L=|-2limn→∞1n1n|
Passaggio 4.1.3
Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando n tende a ∞.
L=|-2limn→∞1limn→∞n1n|
Passaggio 4.1.4
Calcola il limite di 1 che è costante, mentre n tende a ∞.
L=|-21limn→∞n1n|
L=|-21limn→∞n1n|
Passaggio 4.2
Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.
Passaggio 4.2.1
Riscrivi n1n come eln(n1n).
L=|-21limn→∞eln(n1n)|
Passaggio 4.2.2
Espandi ln(n1n) spostando 1n fuori dal logaritmo.
L=|-21limn→∞e1nln(n)|
L=|-21limn→∞e1nln(n)|
Passaggio 4.3
Calcola il limite.
Passaggio 4.3.1
Sposta il limite nell'esponente.
L=|-21elimn→∞1nln(n)|
Passaggio 4.3.2
1n e ln(n).
L=|-21elimn→∞ln(n)n|
L=|-21elimn→∞ln(n)n|
Passaggio 4.4
Applica la regola di de l'Hôpital
Passaggio 4.4.1
Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.
Passaggio 4.4.1.1
Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.
L=|-21elimn→∞ln(n)limn→∞n|
Passaggio 4.4.1.2
Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa ∞.
L=|-21e∞limn→∞n|
Passaggio 4.4.1.3
Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.
L=|-21e∞∞|
L=|-21e∞∞|
Passaggio 4.4.2
Poiché ∞∞ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.
limn→∞ln(n)n=limn→∞ddn[ln(n)]ddn[n]
Passaggio 4.4.3
Trova la derivata del numeratore e del denominatore.
Passaggio 4.4.3.1
Differenzia numeratore e denominatore.
L=|-21elimn→∞ddn[ln(n)]ddn[n]|
Passaggio 4.4.3.2
La derivata di ln(n) rispetto a n è 1n.
L=|-21elimn→∞1nddn[n]|
Passaggio 4.4.3.3
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui ddn[nn] è n⋅nn-1 dove n=1.
L=|-21elimn→∞1n1|
L=|-21elimn→∞1n1|
Passaggio 4.4.4
Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.
L=|-21elimn→∞1n⋅1|
Passaggio 4.4.5
Moltiplica 1n per 1.
L=|-21elimn→∞1n|
L=|-21elimn→∞1n|
Passaggio 4.5
Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione 1n tende a 0.
L=|-21e0|
Passaggio 4.6
Semplifica la risposta.
Passaggio 4.6.1
Qualsiasi valore elevato a 0 è 1.
L=|-2(11)|
Passaggio 4.6.2
Elimina il fattore comune di 1.
Passaggio 4.6.2.1
Elimina il fattore comune.
L=|-2(11)|
Passaggio 4.6.2.2
Riscrivi l'espressione.
L=|-2⋅1|
L=|-2⋅1|
Passaggio 4.6.3
Moltiplica -2 per 1.
L=|-2|
Passaggio 4.6.4
Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra -2 e 0 è 2.
L=2
L=2
L=2
Passaggio 5
Se L<1, la serie è assolutamente convergente. Se L>1, la serie è divergente. Se L=1, il criterio non è conclusivo. In questo caso, L>1.
La serie è divergente in [0,∞)