Calcolo Esempi

$\sum_{0}^{\infty} \frac{2 n^{2} - n^{3}}{2 n^{3} + 5}$

Passaggio 1

La serie è divergente se il limite della sequenza con $n$ che tende a $\infty$ non esiste o non è equivalente a $0$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n^{2} - n^{3}}{2 n^{3} + 5}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $n$ nel denominatore, che è $n^{3}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n^{2}}{n^{3}} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Passaggio 2.2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $n^{2}$ e $n^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Scomponi $n^{2}$ da $2 n^{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{3}} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Scomponi $n^{2}$ da $n^{3}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Passaggio 2.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Passaggio 2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $n^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Passaggio 2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1 \cdot 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di $n^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Passaggio 2.2.2.2

Dividi $2$ per $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Passaggio 2.2.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $n$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} - 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Passaggio 2.2.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $n$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Passaggio 2.2.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $n$ .

$\frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Passaggio 2.3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{n}$ tende a $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $n$ tende a $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Passaggio 2.4.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $n$ tende a $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{n \to \infty} 2 + lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^{3}}}$

Passaggio 2.4.3

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $n$ tende a $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^{3}}}$

Passaggio 2.4.4

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $n$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}$

Passaggio 2.5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{n^{3}}$ tende a $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Passaggio 2.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0 - 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Passaggio 2.6.1.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{- 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{- 1}{2 + 0}$

Passaggio 2.6.2.2

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Il limite esiste e non è uguale a $0$ , per cui la serie è divergente.

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