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Calcolo Esempi

\int x {(x^{2} - 1)}^{6} d x

$\int x {(x^{2} - 1)}^{6} d x$

Passaggio 1

Sia

u = x^{2} - 1

$u = x^{2} - 1$ . Allora

d u = 2 x d x

$d u = 2 x d x$ , quindi

\frac{1}{2} d u = x d x

$\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia

u = x^{2} - 1

$u = x^{2} - 1$ . Trova

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia

x^{2} - 1

$x^{2} - 1$ .

\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

x^{2} - 1

$x^{2} - 1$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 2

$n = 2$ .

2 x + \frac{d}{d x} [- 1]

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché

- 1

$- 1$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

- 1

$- 1$ rispetto a

x

$x$ è

0

$0$ .

2 x + 0

$2 x + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma

2 x

$2 x$ e

0

$0$ .

2 x

$2 x$

2 x

$2 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando

u

$u$ e

d u

$d u$ .

\int u^{6} \frac{1}{2} d u

$\int u^{6} \frac{1}{2} d u$

\int u^{6} \frac{1}{2} d u

$\int u^{6} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

u^{6}

$u^{6}$ e

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\int \frac{u^{6}}{2} d u

$\int \frac{u^{6}}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ è costante rispetto a

u

$u$ , sposta

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

\frac{1}{2} \int u^{6} d u

$\frac{1}{2} \int u^{6} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di

u^{6}

$u^{6}$ rispetto a

u

$u$ è

\frac{1}{7} u^{7}

$\frac{1}{7} u^{7}$ .

\frac{1}{2} (\frac{1}{7} u^{7} + C)

$\frac{1}{2} (\frac{1}{7} u^{7} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi

\frac{1}{2} (\frac{1}{7} u^{7} + C)

$\frac{1}{2} (\frac{1}{7} u^{7} + C)$ come

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + C

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + C$ .

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + C

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + C$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ per

\frac{1}{7}

$\frac{1}{7}$ .

\frac{1}{2 \cdot 7} u^{7} + C

$\frac{1}{2 \cdot 7} u^{7} + C$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica

2

$2$ per

7

$7$ .

\frac{1}{14} u^{7} + C

$\frac{1}{14} u^{7} + C$

\frac{1}{14} u^{7} + C

$\frac{1}{14} u^{7} + C$

\frac{1}{14} u^{7} + C

$\frac{1}{14} u^{7} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di

u

$u$ con

x^{2} - 1

$x^{2} - 1$ .

\frac{1}{14} {(x^{2} - 1)}^{7} + C

$\frac{1}{14} {(x^{2} - 1)}^{7} + C$

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[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$