Calcolo Esempi

$y = 3 x^{2} + 3 x$ , $(1, 6)$

Passaggio 1

Scrivi $y = 3 x^{2} + 3 x$ come funzione.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Passaggio 2

Verifica se il punto dato è sul grafico della funzione data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola $f (x) = 3 x^{2} + 3 x$ con $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 3 {(1)}^{2} + 3 (1)$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 3 \cdot 1 + 3 (1)$

Passaggio 2.1.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1) = 3 + 3 (1)$

Passaggio 2.1.2.1.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1) = 3 + 3$

Passaggio 2.1.2.2

Somma $3$ e $3$ .

$f (1) = 6$

Passaggio 2.1.2.3

La risposta finale è $6$ .

$6$

Passaggio 2.2

Poiché $6 = 6$ , il punto si trova sul grafico.

Il punto è sul grafico

Passaggio 3

Il coefficiente angolare della tangente è la derivata dell'espressione.

$m$ $=$ La derivata di $f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Passaggio 4

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 5

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Riscrivi ${(x + h)}^{2}$ come $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.2

Espandi $(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.3.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.3.2

Somma $x h$ e $h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.3.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.3.2.2

Somma $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 (h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

Passaggio 5.1.2.2

La risposta finale è $3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$ .

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

Passaggio 5.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sposta $3 x$ .

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 h + 3 x$

Passaggio 5.2.2

Sposta $3 x^{2}$ .

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

Passaggio 5.2.3

Riordina $6 h x$ e $3 h^{2}$ .

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

Passaggio 5.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Passaggio 6

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2} + 3 x)}{h}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2}) - (3 x)}{h}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - (3 x)}{h}$

Passaggio 7.1.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - 3 x}{h}$

Passaggio 7.1.4

Sottrai $3 x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

Passaggio 7.1.5

Somma $3 h^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

Passaggio 7.1.6

Sottrai $3 x$ da $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 0}{h}$

Passaggio 7.1.7

Somma $3 h^{2} + 6 h x + 3 h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h}{h}$

Passaggio 7.1.8

Scomponi $3 h$ da $3 h^{2} + 6 h x + 3 h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.8.1

Scomponi $3 h$ da $3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 6 h x + 3 h}{h}$

Passaggio 7.1.8.2

Scomponi $3 h$ da $6 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h}{h}$

Passaggio 7.1.8.3

Scomponi $3 h$ da $3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h \cdot 1}{h}$

Passaggio 7.1.8.4

Scomponi $3 h$ da $3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1}{h}$

Passaggio 7.1.8.5

Scomponi $3 h$ da $3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

Passaggio 7.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $3 (h + 2 x + 1)$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x + 1)$

Passaggio 7.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x) + 3 \cdot 1$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3 \cdot 1$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3$

Passaggio 7.4

Riordina $3 h$ e $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h + 3$

Passaggio 8

Calcola il limite.

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Passaggio 8.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$lim_{h \to 0} 6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3$

Passaggio 8.2

Calcola il limite di $6 x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3$

Passaggio 8.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Passaggio 8.4

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h + 3$

Passaggio 9

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$6 x + 3 \cdot 0 + 3$

Passaggio 10

Semplifica la risposta.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$6 x + 0 + 3$

Passaggio 10.2

Somma $6 x$ e $0$ .

$6 x + 3$

Passaggio 11

Semplifica $6 (1) + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $6$ per $1$ .

$m = 6 + 3$

Passaggio 11.2

Somma $6$ e $3$ .

$m = 9$

Passaggio 12

Il coefficiente angolare è $m = 9$ e il punto è $(1, 6)$ .

$m = 9, (1, 6)$

Passaggio 13

Trova il valore di $b$ usando la formula per l'equazione di una retta.

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Passaggio 13.1

Per trovare $b$ , utilizza la formula dell'equazione di una linea.

$y = m x + b$

Passaggio 13.2

Sostituisci il valore di $m$ nell'equazione.

$y = (9) \cdot x + b$

Passaggio 13.3

Sostituisci il valore di $x$ nell'equazione.

$y = (9) \cdot (1) + b$

Passaggio 13.4

Sostituisci il valore di $y$ nell'equazione.

$6 = (9) \cdot (1) + b$

Passaggio 13.5

Trova il valore di $b$ .

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Passaggio 13.5.1

Riscrivi l'equazione come $(9) \cdot (1) + b = 6$ .

$(9) \cdot (1) + b = 6$

Passaggio 13.5.2

Moltiplica $9$ per $1$ .

$9 + b = 6$

Passaggio 13.5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $b$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 13.5.3.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$b = 6 - 9$

Passaggio 13.5.3.2

Sottrai $9$ da $6$ .

$b = - 3$

Passaggio 14

Ora che i valori di $m$ (pendenza) e $b$ (intercetta di y) sono noti, sostituiscili in $y = m x + b$ per trovare l'equazione della retta.

$y = 9 x - 3$

Passaggio 15

Inserisci il TUO problema