Calcolo Esempi

y' + 2 y = 0

$y' + 2 y = 0$ ,

y = 3 e^{- 2 x}

$y = 3 e^{- 2 x}$

Passaggio 1

Trova

y'

$y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 e^{- 2 x})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 e^{- 2 x})$

Passaggio 1.2

La derivata di

y

$y$ rispetto a

x

$x$ è

y'

$y'$ .

y'

$y'$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché

3

$3$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

3 e^{- 2 x}

$3 e^{- 2 x}$ rispetto a

x

$x$ è

3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ e

g (x) = - 2 x

$g (x) = - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta

u

$u$ come

- 2 x

$- 2 x$ .

3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è

a^{u} \ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ dove

a

$a$ =

e

$e$ .

3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

u

$u$ con

- 2 x

$- 2 x$ .

3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])

$3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])

$3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Poiché

- 2

$- 2$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

- 2 x

$- 2 x$ rispetto a

x

$x$ è

- 2 \frac{d}{d x} [x]

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

3 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])

$3 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3.2

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

3

$3$ .

- 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]

$- 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

- 6 e^{- 2 x} \cdot 1

$- 6 e^{- 2 x} \cdot 1$

Passaggio 1.3.3.4

Moltiplica

- 6

$- 6$ per

1

$1$ .

- 6 e^{- 2 x}

$- 6 e^{- 2 x}$

- 6 e^{- 2 x}

$- 6 e^{- 2 x}$

- 6 e^{- 2 x}

$- 6 e^{- 2 x}$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

y' = - 6 e^{- 2 x}

$y' = - 6 e^{- 2 x}$

y' = - 6 e^{- 2 x}

$y' = - 6 e^{- 2 x}$

Passaggio 2

Sostituisci nell'equazione differenziale data.

- 6 e^{- 2 x} + 2 (3 e^{- 2 x}) = 0

$- 6 e^{- 2 x} + 2 (3 e^{- 2 x}) = 0$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica

3

$3$ per

2

$2$ .

- 6 e^{- 2 x} + 6 e^{- 2 x} = 0

$- 6 e^{- 2 x} + 6 e^{- 2 x} = 0$

Passaggio 3.2

Somma

- 6 e^{- 2 x}

$- 6 e^{- 2 x}$ e

6 e^{- 2 x}

$6 e^{- 2 x}$ .

0 = 0

$0 = 0$

0 = 0

$0 = 0$

Passaggio 4

La soluzione data soddisfa l'equazione differenziale data.

y = 3 e^{- 2 x}

$y = 3 e^{- 2 x}$ è una soluzione a

y' + 2 y = 0

$y' + 2 y = 0$

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