Calcolo Esempi

$y' + 2 y = 0$ , $y = 3 e^{- 2 x}$

Passaggio 1

Trova $y'$ .

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Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 e^{- 2 x})$

Passaggio 1.2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{- 2 x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 2 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x$ .

$3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3.2

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$- 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 6 e^{- 2 x} \cdot 1$

Passaggio 1.3.3.4

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$- 6 e^{- 2 x}$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - 6 e^{- 2 x}$

Passaggio 2

Sostituisci nell'equazione differenziale data.

$- 6 e^{- 2 x} + 2 (3 e^{- 2 x}) = 0$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- 6 e^{- 2 x} + 6 e^{- 2 x} = 0$

Passaggio 3.2

Somma $- 6 e^{- 2 x}$ e $6 e^{- 2 x}$ .

$0 = 0$

Passaggio 4

La soluzione data soddisfa l'equazione differenziale data.

$y = 3 e^{- 2 x}$ è una soluzione a $y' + 2 y = 0$

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