Calcolo Esempi
y′+y′′=6e2x , y=e2x
Passaggio 1
Passaggio 1.1
Differenzia entrambi i lati dell'equazione.
ddx(y)=ddx(e2x)
Passaggio 1.2
La derivata di y rispetto a x è y′.
y′
Passaggio 1.3
Differenzia il lato destro dell'equazione.
Passaggio 1.3.1
Differenzia usando la regola della catena secondo cui ddx[f(g(x))] è f′(g(x))g′(x) dove f(x)=ex e g(x)=2x.
Passaggio 1.3.1.1
Per applicare la regola della catena, imposta u come 2x.
ddu[eu]ddx[2x]
Passaggio 1.3.1.2
Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui ddu[au] è auln(a) dove a=e.
euddx[2x]
Passaggio 1.3.1.3
Sostituisci tutte le occorrenze di u con 2x.
e2xddx[2x]
e2xddx[2x]
Passaggio 1.3.2
Differenzia.
Passaggio 1.3.2.1
Poiché 2 è costante rispetto a x, la derivata di 2x rispetto a x è 2ddx[x].
e2x(2ddx[x])
Passaggio 1.3.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui ddx[xn] è nxn-1 dove n=1.
e2x(2⋅1)
Passaggio 1.3.2.3
Semplifica l'espressione.
Passaggio 1.3.2.3.1
Moltiplica 2 per 1.
e2x⋅2
Passaggio 1.3.2.3.2
Sposta 2 alla sinistra di e2x.
2e2x
2e2x
2e2x
2e2x
Passaggio 1.4
Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.
y′=2e2x
y′=2e2x
Passaggio 2
Passaggio 2.1
Imposta la derivata.
y′′=ddx[2e2x]
Passaggio 2.2
Poiché 2 è costante rispetto a x, la derivata di 2e2x rispetto a x è 2ddx[e2x].
y′′=2ddx[e2x]
Passaggio 2.3
Differenzia usando la regola della catena secondo cui ddx[f(g(x))] è f′(g(x))g′(x) dove f(x)=ex e g(x)=2x.
Passaggio 2.3.1
Per applicare la regola della catena, imposta u come 2x.
y′′=2(ddu[eu]ddx[2x])
Passaggio 2.3.2
Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui ddu[au] è auln(a) dove a=e.
y′′=2(euddx[2x])
Passaggio 2.3.3
Sostituisci tutte le occorrenze di u con 2x.
y′′=2(e2xddx[2x])
y′′=2(e2xddx[2x])
Passaggio 2.4
Rimuovi le parentesi.
y′′=2e2xddx[2x]
Passaggio 2.5
Poiché 2 è costante rispetto a x, la derivata di 2x rispetto a x è 2ddx[x].
y′′=2e2x(2ddx[x])
Passaggio 2.6
Moltiplica 2 per 2.
y′′=4e2xddx[x]
Passaggio 2.7
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui ddx[xn] è nxn-1 dove n=1.
y′′=4e2x⋅1
Passaggio 2.8
Moltiplica 4 per 1.
y′′=4e2x
y′′=4e2x
Passaggio 3
Sostituisci nell'equazione differenziale data.
2e2x+4e2x=6e2x
Passaggio 4
Somma 2e2x e 4e2x.
6e2x=6e2x
Passaggio 5
La soluzione data soddisfa l'equazione differenziale data.
y=e2x è una soluzione a y′+y′′=6e2x