Calcolo Esempi

\frac{d y}{d x} + y = e^{x}

$\frac{d y}{d x} + y = e^{x}$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula

e^{\int P (x) d x}

$e^{\int P (x) d x}$ , dove

P (x) = 1

$P (x) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

e^{\int d x}

$e^{\int d x}$

Passaggio 1.2

Applica la regola costante.

e^{x + C}

$e^{x + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

e^{x}

$e^{x}$

e^{x}

$e^{x}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore

e^{x}

$e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per

e^{x}

$e^{x}$ .

e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} e^{x}

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} e^{x}$

Passaggio 2.2

Moltiplica

e^{x}

$e^{x}$ per

e^{x}

$e^{x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Usa la regola della potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x + x}

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x + x}$

Passaggio 2.2.2

Somma

x

$x$ e

x

$x$ .

e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$

e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$

Passaggio 2.3

Riordina i fattori in

e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$ .

e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{2 x}

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{2 x}$

e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{2 x}

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{2 x}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{2 x}

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{2 x}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{2 x} d x

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{2 x} d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

e^{x} y = \int e^{2 x} d x

$e^{x} y = \int e^{2 x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia

u = 2 x

$u = 2 x$ . Allora

d u = 2 d x

$d u = 2 d x$ , quindi

\frac{1}{2} d u = d x

$\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sia

u = 2 x

$u = 2 x$ . Trova

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Differenzia

2 x

$2 x$ .

\frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 6.1.1.2

Poiché

2

$2$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

2 x

$2 x$ rispetto a

x

$x$ è

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Passaggio 6.1.1.4

Moltiplica

2

$2$ per

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Passaggio 6.1.2

Riscrivi il problema usando

u

$u$ e

d u

$d u$ .

e^{x} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u

$e^{x} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

e^{x} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u

$e^{x} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 6.2

e^{u}

$e^{u}$ e

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

e^{x} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u

$e^{x} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 6.3

Poiché

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ è costante rispetto a

u

$u$ , sposta

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

e^{x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u

$e^{x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Passaggio 6.4

L'integrale di

e^{u}

$e^{u}$ rispetto a

u

$u$ è

e^{u}

$e^{u}$ .

e^{x} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)

$e^{x} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Passaggio 6.5

Semplifica.

e^{x} y = \frac{1}{2} e^{u} + C

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

Passaggio 6.6

Sostituisci tutte le occorrenze di

u

$u$ con

2 x

$2 x$ .

e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Passaggio 7

Dividi per

e^{x}

$e^{x}$ ciascun termine in

e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per

e^{x}

$e^{x}$ ciascun termine in

e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ .

\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di

e^{x}

$e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi

y

$y$ per

1

$1$ .

y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune di

e^{2 x}

$e^{2 x}$ e

e^{x}

$e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1.1

Scomponi

e^{x}

$e^{x}$ da

\frac{1}{2} e^{2 x}

$\frac{1}{2} e^{2 x}$ .

y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1.2.1

Moltiplica per

1

$1$ .

y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

y = \frac{\frac{1}{2} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.4

Dividi

\frac{1}{2} e^{x}

$\frac{1}{2} e^{x}$ per

1

$1$ .

y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3.1.2

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

e^{x}

$e^{x}$ .

y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

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