Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + y = \sin (x)$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int d x}$

Passaggio 1.2

Applica la regola costante.

$e^{x + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{x}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$

Passaggio 2.2

Riordina i fattori in $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{x} \sin (x)$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{x} \sin (x)$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{x} \sin (x) d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{x} y = \int e^{x} \sin (x) d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riordina $e^{x}$ e $\sin (x)$ .

$e^{x} y = \int \sin (x) e^{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \sin (x)$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Passaggio 6.3

Riordina $e^{x}$ e $\cos (x)$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

Passaggio 6.4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \cos (x)$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

Passaggio 6.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Passaggio 6.6

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Passaggio 6.6.2

Moltiplica $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ per $1$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Passaggio 6.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Passaggio 6.7

Risolvendo $\int e^{x} \sin (x) d x$ , troviamo che $\int e^{x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

Passaggio 6.8

Riscrivi $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ come $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ .

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

Passaggio 7

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x})$ .

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Passaggio 7.1.2.1

$\sin (x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x)}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Passaggio 7.1.2.2

$\frac{\sin (x)}{2}$ e $e^{x}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Passaggio 7.1.3

Moltiplica $\frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1

$\frac{1}{2}$ e $\cos (x)$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{\cos (x)}{2} e^{x} + C$

Passaggio 7.1.3.2

$e^{x}$ e $\frac{\cos (x)}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

Passaggio 7.1.4

Riordina i fattori in $\frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

Passaggio 7.2

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2.3.1.2

Combina.

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2.3.1.3

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2.3.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sin (x) \cdot 1}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2.3.1.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2.3.1.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2.3.1.6

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ nel numeratore.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2.3.1.6.2

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x} \cos (x)$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2.3.1.6.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2.3.1.6.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- 1 \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2.3.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

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