Calcolo Esempi

\frac{d y}{d x} + tan (x) y = 1

$\frac{d y}{d x} + \tan (x) y = 1$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula

e^{\int P (x) d x}

$e^{\int P (x) d x}$ , dove

P (x) = tan (x)

$P (x) = \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

e^{\int tan (x) d x}

$e^{\int \tan (x) d x}$

Passaggio 1.2

L'integrale di

tan (x)

$\tan (x)$ rispetto a

x

$x$ è

ln (| sec (x) |)

$\ln (| \sec (x) |)$ .

e^{ln (| sec (x) |) + C}

$e^{\ln (| \sec (x) |) + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

e^{ln (sec (x))}

$e^{\ln (\sec (x))}$

Passaggio 1.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

sec (x)

$\sec (x)$

sec (x)

$\sec (x)$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore

sec (x)

$\sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per

sec (x)

$\sec (x)$ .

sec (x) \frac{d y}{d x} + sec (x) (tan (x) y) = sec (x) \cdot 1

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\tan (x) y) = \sec (x) \cdot 1$

Passaggio 2.2

Moltiplica

sec (x)

$\sec (x)$ per

1

$1$ .

sec (x) \frac{d y}{d x} + sec (x) tan (x) y = sec (x)

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec (x)$

Passaggio 2.3

Riordina i fattori in

sec (x) \frac{d y}{d x} + sec (x) tan (x) y = sec (x)

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec (x)$ .

sec (x) \frac{d y}{d x} + y sec (x) tan (x) = sec (x)

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = \sec (x)$

sec (x) \frac{d y}{d x} + y sec (x) tan (x) = sec (x)

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = \sec (x)$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

\frac{d}{d x} [sec (x) y] = sec (x)

$\frac{d}{d x} [\sec (x) y] = \sec (x)$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

\int \frac{d}{d x} [sec (x) y] d x = \int sec (x) d x

$\int \frac{d}{d x} [\sec (x) y] d x = \int \sec (x) d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

sec (x) y = \int sec (x) d x

$\sec (x) y = \int \sec (x) d x$

Passaggio 6

L'integrale di

sec (x)

$\sec (x)$ rispetto a

x

$x$ è

ln (| sec (x) + tan (x) |)

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

sec (x) y = ln (| sec (x) + tan (x) |) + C

$\sec (x) y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$

Passaggio 7

Dividi per

sec (x)

$\sec (x)$ ciascun termine in

sec (x) y = ln (| sec (x) + tan (x) |) + C

$\sec (x) y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per

sec (x)

$\sec (x)$ ciascun termine in

sec (x) y = ln (| sec (x) + tan (x) |) + C

$\sec (x) y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ .

\frac{sec (x) y}{sec (x)} = \frac{ln (| sec (x) + tan (x) |)}{sec (x)} + \frac{C}{sec (x)}

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di

sec (x)

$\sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi

$y$ per

$1$ .

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Frazioni separate.

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Passaggio 7.3.1.2

Riscrivi

$\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

Passaggio 7.3.1.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per

$\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} (1 \cos (x)) + \frac{C}{\sec (x)}$

Passaggio 7.3.1.4

Moltiplica

$\cos (x)$ per

$1$ .

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Passaggio 7.3.1.5

Dividi

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ per

$1$ .

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Passaggio 7.3.1.6

Frazioni separate.

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Passaggio 7.3.1.7

Riscrivi

$\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Passaggio 7.3.1.8

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per

$\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} (1 \cos (x))$

Passaggio 7.3.1.9

Moltiplica

$\cos (x)$ per

$1$ .

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} \cos (x)$

Passaggio 7.3.1.10

Dividi

$C$ per

$1$ .

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + C \cos (x)$

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