Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = 2 x$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 1.2

Integra $- \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 1.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \ln (x)}$

Passaggio 1.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Passaggio 1.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 1}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1

$\frac{1}{x}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)$

Passaggio 2.2.3

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (2 x)$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Passaggio 2.2.4.1

Moltiplica $\frac{y}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (2 x)$

Passaggio 2.2.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (2 x)$

Passaggio 2.2.4.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (2 x)$

Passaggio 2.2.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (2 x)$

Passaggio 2.2.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x)$

Passaggio 2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 2 \frac{1}{x} x$

Passaggio 2.4

$2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} x$

Passaggio 2.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} x$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 2$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = 2$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int 2 d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x} y = \int 2 d x$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$\frac{1}{x} y = 2 x + C$

Passaggio 7

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 7.1

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{y}{x} = 2 x + C$

Passaggio 7.2

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = (2 x + C) x$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 7.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = (2 x + C) x$

Passaggio 7.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (2 x + C) x$

Passaggio 7.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.2.1

Semplifica $(2 x + C) x$ .

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Passaggio 7.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = 2 x \cdot x + C x$

Passaggio 7.3.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.3.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$y = 2 (x \cdot x) + C x$

Passaggio 7.3.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = 2 x^{2} + C x$

Passaggio 7.3.2.1.3

Riordina $2 x^{2}$ e $C x$ .

$y = C x + 2 x^{2}$

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