Calcolo Esempi

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{\sqrt{x y}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{\sqrt{x y}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di

\frac{y}{x}

$\frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Presupponi che

\sqrt{y^{2}} = y

$\sqrt{y^{2}} = y$ .

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{y^{2}}}{\sqrt{x y}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{y^{2}}}{\sqrt{x y}}$

Passaggio 1.2

Combina

\sqrt{y^{2}}

$\sqrt{y^{2}}$ e

\sqrt{x y}

$\sqrt{x y}$ in un singolo radicale.

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^{2}}{x y}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^{2}}{x y}}$

Passaggio 1.3

Riduci l'espressione

\frac{y^{2}}{x y}

$\frac{y^{2}}{x y}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi

y

$y$ da

y^{2}

$y^{2}$ .

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{x y}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{x y}}$

Passaggio 1.3.2

Scomponi

y

$y$ da

x y

$x y$ .

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{y x}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{y x}}$

Passaggio 1.3.3

Elimina il fattore comune.

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{y x}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{y x}}$

Passaggio 1.3.4

Riscrivi l'espressione.

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}$

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}$

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}$

Passaggio 2

Sia

V = \frac{y}{x}

$V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci

V

$V$ a

\frac{y}{x}

$\frac{y}{x}$ .

\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V}

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V}$

Passaggio 3

Risolvi

V = \frac{y}{x}

$V = \frac{y}{x}$ per

y

$y$ .

y = V x

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di

y = V x

$y = V x$ rispetto a

x

$x$ .

\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci

x \frac{d V}{d x} + V

$x \frac{d V}{d x} + V$ a

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ .

x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V}

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per

\frac{d V}{d x}

$\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti

\frac{d V}{d x}

$\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Sottrai

V

$V$ da entrambi i lati dell'equazione.

x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{V} - V

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{V} - V$

Passaggio 6.1.1.1.2

Combina i termini opposti in

V + \sqrt{V} - V

$V + \sqrt{V} - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.2.1

Sottrai

V

$V$ da

V

$V$ .

x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{V}

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{V}$

Passaggio 6.1.1.1.2.2

Somma

0

$0$ e

\sqrt{V}

$\sqrt{V}$ .

x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$

x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$

x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$

Passaggio 6.1.1.2

Dividi per

x

$x$ ciascun termine in

x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Dividi per

x

$x$ ciascun termine in

x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ .

\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.2.1.2

Dividi

\frac{d V}{d x}

$\frac{d V}{d x}$ per

1

$1$ .

\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{V}}{x}