Calcolo Esempi

$x \cdot \frac{d y}{d x} = y + \sqrt{x y}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di

$\frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per

$x$ ciascun termine in

$x \cdot \frac{d y}{d x} = y + \sqrt{x y}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per

$x$ ciascun termine in

$x \cdot \frac{d y}{d x} = y + \sqrt{x y}$ .

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{x}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi

$\frac{d y}{d x}$ per

$1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{x}$

Passaggio 1.2

Presupponi che

$\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x^{2}}}$

Passaggio 1.3

Combina

$\sqrt{x y}$ e

$\sqrt{x^{2}}$ in un singolo radicale.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x y}{x^{2}}}$

Passaggio 1.4

Riduci l'espressione

$\frac{x y}{x^{2}}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi

$x$ da

$x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x (y)}{x^{2}}}$

Passaggio 1.4.2

Scomponi

$x$ da

$x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x (y)}{x \cdot x}}$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x y}{x \cdot x}}$

Passaggio 1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}$

Passaggio 2

Sia

$V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci

$V$ a

$\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V}$

Passaggio 3

Risolvi

$V = \frac{y}{x}$ per

$y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di

$y = V x$ rispetto a

$x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci

$x \frac{d V}{d x} + V$ a

$\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per

$\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti

$\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Sottrai

$V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{V} - V$

Passaggio 6.1.1.1.2

Combina i termini opposti in

$V + \sqrt{V} - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.2.1

Sottrai

$V$ da

$V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{V}$

Passaggio 6.1.1.1.2.2

Somma

$0$ e

$\sqrt{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$

Passaggio 6.1.1.2

Dividi per

$x$ ciascun termine in

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Dividi per

$x$ ciascun termine in

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.2.1.2

Dividi

$\frac{d V}{d x}$ per

$1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica ogni lato per

$\frac{1}{\sqrt{V}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V}}{x}$

Passaggio 6.1.3

Elimina il fattore comune di

$\sqrt{V}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V}}{x}$

Passaggio 6.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\sqrt{V}} d V = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\sqrt{V}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{V}$ come

$V^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{V^{\frac{1}{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.2

Sposta

$V^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di

$- 1$ .

$\int {(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in

${(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ e

$- 1$ .

$\int V^{\frac{- 1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int V^{- \frac{1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di

$V^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a

$V$ è

$2 V^{\frac{1}{2}}$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

L'integrale di

$\frac{1}{x}$ rispetto a

$x$ è

$\ln (| x |)$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come

$C$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

Passaggio 6.3

Risolvi per

$V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ .

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Passaggio 6.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Passaggio 6.3.1.2.2

Dividi

$V^{\frac{1}{2}}$ per

$1$ .

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Passaggio 6.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1.1

Riscrivi

$\frac{\ln (| x |)}{2}$ come

$\frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

Passaggio 6.3.1.3.1.2

Semplifica

$\frac{1}{2} \ln (| x |)$ spostando

$\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$V^{\frac{1}{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

Passaggio 6.3.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di

$2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Semplifica

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Moltiplica gli esponenti in

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 6.3.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 6.3.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$V^{1} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 6.3.3.1.2

Semplifica.

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 6.4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

Passaggio 7

Sostituisci

$\frac{y}{x}$ a

$V$ .

$\frac{y}{x} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

Passaggio 8

Risolvi

$\frac{y}{x} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$ per

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica ogni lato per

$x$ .

$\frac{y}{x} x = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

Passaggio 8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune di

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

Passaggio 8.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Riordina i fattori in

${(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$ .

$y = x {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

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