Calcolo Esempi

Risolvi l'equazione differenziale
dydx=yx-(yx)2
Passaggio 1
Sia V=yx. Sostituisci V a yx.
dydx=V-V2
Passaggio 2
Risolvi V=yx per y.
y=Vx
Passaggio 3
Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di y=Vx rispetto a x.
dydx=xdVdx+V
Passaggio 4
Sostituisci xdVdx+V a dydx.
xdVdx+V=V-V2
Passaggio 5
Risolvi l'equazione differenziale sostituita.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Separa le variabili.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1.1
Risolvi per dVdx.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1.1.1
Sposta tutti i termini non contenenti dVdx sul lato destro dell'equazione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1.1.1.1
Sottrai V da entrambi i lati dell'equazione.
xdVdx=V-V2-V
Passaggio 5.1.1.1.2
Combina i termini opposti in V-V2-V.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1.1.1.2.1
Sottrai V da V.
xdVdx=-V2+0
Passaggio 5.1.1.1.2.2
Somma -V2 e 0.
xdVdx=-V2
xdVdx=-V2
xdVdx=-V2
Passaggio 5.1.1.2
Dividi per x ciascun termine in xdVdx=-V2 e semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1.1.2.1
Dividi per x ciascun termine in xdVdx=-V2.
xdVdxx=-V2x
Passaggio 5.1.1.2.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1.1.2.2.1
Elimina il fattore comune di x.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1.1.2.2.1.1
Elimina il fattore comune.
xdVdxx=-V2x
Passaggio 5.1.1.2.2.1.2
Dividi dVdx per 1.
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
Passaggio 5.1.1.2.3
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1.1.2.3.1
Sposta il negativo davanti alla frazione.
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
Passaggio 5.1.2
Moltiplica ogni lato per 1V2.
1V2dVdx=1V2(-V2x)
Passaggio 5.1.3
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1.3.1
Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.
1V2dVdx=-1V2V2x
Passaggio 5.1.3.2
Elimina il fattore comune di V2.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1.3.2.1
Sposta il negativo all'inizio di -1V2 nel numeratore.
1V2dVdx=-1V2V2x
Passaggio 5.1.3.2.2
Elimina il fattore comune.
1V2dVdx=-1V2V2x
Passaggio 5.1.3.2.3
Riscrivi l'espressione.
1V2dVdx=-1x
1V2dVdx=-1x
1V2dVdx=-1x
Passaggio 5.1.4
Riscrivi l'equazione.
1V2dV=-1xdx
1V2dV=-1xdx
Passaggio 5.2
Integra entrambi i lati.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.1
Imposta un integrale su ciascun lato.
1V2dV=-1xdx
Passaggio 5.2.2
Integra il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.2.1
Applica le regole di base degli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.2.1.1
Sposta V2 fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di -1.
(V2)-1dV=-1xdx
Passaggio 5.2.2.1.2
Moltiplica gli esponenti in (V2)-1.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.2.1.2.1
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, (am)n=amn.
V2-1dV=-1xdx
Passaggio 5.2.2.1.2.2
Moltiplica 2 per -1.
V-2dV=-1xdx
V-2dV=-1xdx
V-2dV=-1xdx
Passaggio 5.2.2.2
Secondo la regola della potenza, l'intero di V-2 rispetto a V è -V-1.
-V-1+C1=-1xdx
Passaggio 5.2.2.3
Riscrivi -V-1+C1 come -1V+C1.
-1V+C1=-1xdx
-1V+C1=-1xdx
Passaggio 5.2.3
Integra il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.3.1
Poiché -1 è costante rispetto a x, sposta -1 fuori dall'integrale.
-1V+C1=-1xdx
Passaggio 5.2.3.2
L'integrale di 1x rispetto a x è ln(|x|).
-1V+C1=-(ln(|x|)+C2)
Passaggio 5.2.3.3
Semplifica.
-1V+C1=-ln(|x|)+C2
-1V+C1=-ln(|x|)+C2
Passaggio 5.2.4
Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come C.
-1V=-ln(|x|)+C
-1V=-ln(|x|)+C
Passaggio 5.3
Risolvi per V.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.1
Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.1.1
Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.
V,1,1
Passaggio 5.3.1.2
Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.
V
V
Passaggio 5.3.2
Moltiplica per V ciascun termine in -1V=-ln(|x|)+C per eliminare le frazioni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.2.1
Moltiplica ogni termine in -1V=-ln(|x|)+C per V.
-1VV=-ln(|x|)V+CV
Passaggio 5.3.2.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.2.2.1
Elimina il fattore comune di V.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.2.2.1.1
Sposta il negativo all'inizio di -1V nel numeratore.
-1VV=-ln(|x|)V+CV
Passaggio 5.3.2.2.1.2
Elimina il fattore comune.
-1VV=-ln(|x|)V+CV
Passaggio 5.3.2.2.1.3
Riscrivi l'espressione.
-1=-ln(|x|)V+CV
-1=-ln(|x|)V+CV
-1=-ln(|x|)V+CV
Passaggio 5.3.2.3
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.2.3.1
Riordina i fattori in -ln(|x|)V+CV.
-1=-Vln(|x|)+CV
-1=-Vln(|x|)+CV
-1=-Vln(|x|)+CV
Passaggio 5.3.3
Risolvi l'equazione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.3.1
Riscrivi l'equazione come -Vln(|x|)+CV=-1.
-Vln(|x|)+CV=-1
Passaggio 5.3.3.2
Scomponi V da -Vln(|x|)+CV.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.3.2.1
Scomponi V da -Vln(|x|).
V(-1ln(|x|))+CV=-1
Passaggio 5.3.3.2.2
Scomponi V da CV.
V(-1ln(|x|))+VC=-1
Passaggio 5.3.3.2.3
Scomponi V da V(-1ln(|x|))+VC.
V(-1ln(|x|)+C)=-1
V(-1ln(|x|)+C)=-1
Passaggio 5.3.3.3
Riscrivi -1ln(|x|) come -ln(|x|).
V(-ln(|x|)+C)=-1
Passaggio 5.3.3.4
Dividi per -ln(|x|)+C ciascun termine in V(-ln(|x|)+C)=-1 e semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.3.4.1
Dividi per -ln(|x|)+C ciascun termine in V(-ln(|x|)+C)=-1.
V(-ln(|x|)+C)-ln(|x|)+C=-1-ln(|x|)+C
Passaggio 5.3.3.4.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.3.4.2.1
Elimina il fattore comune di -ln(|x|)+C.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.3.4.2.1.1
Elimina il fattore comune.
V(-ln(|x|)+C)-ln(|x|)+C=-1-ln(|x|)+C
Passaggio 5.3.3.4.2.1.2
Dividi V per 1.
V=-1-ln(|x|)+C
V=-1-ln(|x|)+C
V=-1-ln(|x|)+C
Passaggio 5.3.3.4.3
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.3.4.3.1
Sposta il negativo davanti alla frazione.
V=-1-ln(|x|)+C
Passaggio 5.3.3.4.3.2
Scomponi -1 da -ln(|x|).
V=-1-(ln(|x|))+C
Passaggio 5.3.3.4.3.3
Scomponi -1 da C.
V=-1-(ln(|x|))-1(-C)
Passaggio 5.3.3.4.3.4
Scomponi -1 da -(ln(|x|))-1(-C).
V=-1-(ln(|x|)-C)
Passaggio 5.3.3.4.3.5
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.3.4.3.5.1
Riscrivi -(ln(|x|)-C) come -1(ln(|x|)-C).
V=-1-1(ln(|x|)-C)
Passaggio 5.3.3.4.3.5.2
Sposta il negativo davanti alla frazione.
V=--1ln(|x|)-C
Passaggio 5.3.3.4.3.5.3
Moltiplica -1 per -1.
V=11ln(|x|)-C
Passaggio 5.3.3.4.3.5.4
Moltiplica 1ln(|x|)-C per 1.
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
Passaggio 5.4
Semplifica la costante dell'integrazione.
V=1ln(|x|)+C
V=1ln(|x|)+C
Passaggio 6
Sostituisci yx a V.
yx=1ln(|x|)+C
Passaggio 7
Risolvi yx=1ln(|x|)+C per y.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1
Moltiplica ogni lato per x.
yxx=1ln(|x|)+Cx
Passaggio 7.2
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.2.1
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.2.1.1
Elimina il fattore comune di x.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.2.1.1.1
Elimina il fattore comune.
yxx=1ln(|x|)+Cx
Passaggio 7.2.1.1.2
Riscrivi l'espressione.
y=1ln(|x|)+Cx
y=1ln(|x|)+Cx
y=1ln(|x|)+Cx
Passaggio 7.2.2
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.2.2.1
1ln(|x|)+C e x.
y=xln(|x|)+C
y=xln(|x|)+C
y=xln(|x|)+C
y=xln(|x|)+C
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