Calcolo Esempi

$(\sin (y) + x) d x + (x \cos (y)) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = \sin (y) + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y) + x]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (y) + x$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 1.3

La derivata di $\sin (y)$ rispetto a $y$ è $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $\cos (y)$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x \cos (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$

Passaggio 2.2

Poiché $\cos (y)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x \cos (y)$ rispetto a $x$ è $\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \cdot 1$

Passaggio 2.4

Moltiplica $\cos (y)$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y)$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci $\cos (y)$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\cos (y)$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$\cos (y) = \cos (y)$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\cos (y) = \cos (y)$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \cos (y) d y$

Passaggio 5

Integra $N (x, y) = x \cos (y)$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , sposta $x$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = x \int \cos (y) d y$

Passaggio 5.2

L'integrale di $\cos (y)$ rispetto a $y$ è $\sin (y)$ .

$f (x, y) = x (\sin (y) + C)$

Passaggio 5.3

Semplifica.

$f (x, y) = x \sin (y) + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sin (y) + x$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y) + g (x)] = \sin (y) + x$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x \sin (y) + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $\sin (y)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x \sin (y)$ rispetto a $x$ è $\sin (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $\sin (y)$ per $1$ .

$\sin (y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$\sin (y) + \frac{d g}{d x} = \sin (y) + x$

Passaggio 8.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) = \sin (y) + x$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

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Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai $\sin (y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = \sin (y) + x - \sin (y)$

Passaggio 9.1.2

Combina i termini opposti in $\sin (y) + x - \sin (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Sottrai $\sin (y)$ da $\sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $x$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Passaggio 10.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 12

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{x^{2}}{2} + C$

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