Calcolo Esempi

(\sin (y) + x) d x + (x \cos (y)) d y = 0

$(\sin (y) + x) d x + (x \cos (y)) d y = 0$

Passaggio 1

Trova

\frac{\partial M}{\partial y}

$\frac{\partial M}{\partial y}$ dove

M (x, y) = \sin (y) + x

$M (x, y) = \sin (y) + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia

M

$M$ rispetto a

y

$y$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y) + x]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y) + x]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

\sin (y) + x

$\sin (y) + x$ rispetto a

y

$y$ è

\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]

$\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 1.3

La derivata di

\sin (y)

$\sin (y)$ rispetto a

y

$y$ è

\cos (y)

$\cos (y)$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \frac{d}{d y} [x]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché

x

$x$ è costante rispetto a

y

$y$ , la derivata di

x

$x$ rispetto a

y

$y$ è

0

$0$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + 0

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma

\cos (y)

$\cos (y)$ e

0

$0$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

Passaggio 2

Trova

\frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial N}{\partial x}$ dove

N (x, y) = x \cos (y)

$N (x, y) = x \cos (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia

N

$N$ rispetto a

x

$x$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cos (y)]

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$

Passaggio 2.2

Poiché

\cos (y)

$\cos (y)$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

x \cos (y)

$x \cos (y)$ rispetto a

x

$x$ è

\cos (y) \frac{d}{d x} [x]

$\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x]

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \cdot 1

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \cdot 1$

Passaggio 2.4

Moltiplica

\cos (y)

$\cos (y)$ per

1

$1$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y)

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y)$

\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y)

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y)$

Passaggio 3

Verifica che

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci

\cos (y)

$\cos (y)$ a

\frac{\partial M}{\partial y}

$\frac{\partial M}{\partial y}$ e

\cos (y)

$\cos (y)$ a

\frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial N}{\partial x}$

\cos (y) = \cos (y)

$\cos (y) = \cos (y)$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

\cos (y) = \cos (y)

$\cos (y) = \cos (y)$ è un'identità.

\cos (y) = \cos (y)

$\cos (y) = \cos (y)$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta

f (x, y)

$f (x, y)$ uguale all'integrale di

N (x, y)

$N (x, y)$ .

f (x, y) = \int x \cos (y) d y

$f (x, y) = \int x \cos (y) d y$

Passaggio 5

Integra

N (x, y) = x \cos (y)

$N (x, y) = x \cos (y)$ per trovare

f (x, y)

$f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché

x

$x$ è costante rispetto a

y

$y$ , sposta

x

$x$ fuori dall'integrale.

f (x, y) = x \int \cos (y) d y

$f (x, y) = x \int \cos (y) d y$

Passaggio 5.2

L'integrale di

\cos (y)

$\cos (y)$ rispetto a

y

$y$ è

\sin (y)

$\sin (y)$ .

f (x, y) = x (\sin (y) + C)

$f (x, y) = x (\sin (y) + C)$

Passaggio 5.3

Semplifica.

f (x, y) = x \sin (y) + C

$f (x, y) = x \sin (y) + C$

f (x, y) = x \sin (y) + C

$f (x, y) = x \sin (y) + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di

g (x)

$g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire

C

$C$ con

g (x)

$g (x)$ .

f (x, y) = x \sin (y) + g (x)

$f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$

Passaggio 7

Imposta

\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

\frac{\partial f}{\partial x} = \sin (y) + x

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sin (y) + x$

Passaggio 8

Trova

\frac{\partial f}{\partial x}

$\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia

f

$f$ rispetto a

x

$x$ .

\frac{d}{d x} [x \sin (y) + g (x)] = \sin (y) + x

$\frac{d}{d x} [x \sin (y) + g (x)] = \sin (y) + x$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

x \sin (y) + g (x)

$x \sin (y) + g (x)$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Passaggio 8.3

Calcola

\frac{d}{d x} [x \sin (y)]

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché

\sin (y)

$\sin (y)$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

x \sin (y)

$x \sin (y)$ rispetto a

x

$x$ è

\sin (y) \frac{d}{d x} [x]

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

\sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

\sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x

$\sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica

\sin (y)

$\sin (y)$ per

1

$1$ .

\sin (y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x

$\sin (y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

\sin (y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x

$\sin (y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di

g (x)

$g (x)$ è

\frac{d g}{d x}

$\frac{d g}{d x}$ .

\sin (y) + \frac{d g}{d x} = \sin (y) + x

$\sin (y) + \frac{d g}{d x} = \sin (y) + x$

Passaggio 8.5

Riordina i termini.

\frac{d g}{d x} + \sin (y) = \sin (y) + x

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) = \sin (y) + x$

\frac{d g}{d x} + \sin (y) = \sin (y) + x

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) = \sin (y) + x$

Passaggio 9

Risolvi per

\frac{d g}{d x}

$\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti

\frac{d g}{d x}

$\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai

\sin (y)

$\sin (y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

\frac{d g}{d x} = \sin (y) + x - \sin (y)

$\frac{d g}{d x} = \sin (y) + x - \sin (y)$

Passaggio 9.1.2

Combina i termini opposti in

\sin (y) + x - \sin (y)

$\sin (y) + x - \sin (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Sottrai

\sin (y)

$\sin (y)$ da

\sin (y)

$\sin (y)$ .

\frac{d g}{d x} = x + 0

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Passaggio 9.1.2.2

Somma

x

$x$ e

0

$0$ .

\frac{d g}{d x} = x

$\frac{d g}{d x} = x$

\frac{d g}{d x} = x

$\frac{d g}{d x} = x$

\frac{d g}{d x} = x

$\frac{d g}{d x} = x$

\frac{d g}{d x} = x

$\frac{d g}{d x} = x$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di

x

$x$ per trovare

g (x)

$g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di

\frac{d g}{d x} = x

$\frac{d g}{d x} = x$ .

\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Passaggio 10.2

Calcola

\int \frac{d g}{d x} d x

$\int \frac{d g}{d x} d x$ .

g (x) = \int x d x

$g (x) = \int x d x$

Passaggio 10.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di

x

$x$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{1}{2} x^{2}

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 11

Sostituisci a

g (x)

$g (x)$ in

f (x, y) = x \sin (y) + g (x)

$f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$ .

f (x, y) = x \sin (y) + \frac{1}{2} x^{2} + C

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 12

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

x^{2}

$x^{2}$ .

f (x, y) = x \sin (y) + \frac{x^{2}}{2} + C

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{x^{2}}{2} + C$

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