Calcolo Esempi

$(3 x^{2} y + y^{2}) d x + (x^{3} + 2 x y + 3) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}$ .

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Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y + y^{2}]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} y + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $3 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 x^{2} y$ rispetto a $y$ è $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x^{3} + 2 x y + 3$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x y + 3]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 2 x y + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $x$ è $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $3 x^{2} + 2 y$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci $3 x^{2} + 2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3 x^{2} + 2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y + y^{2} d x$

Passaggio 5

Integra $M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int y^{2} d x$

Passaggio 5.2

Poiché $3 y$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3 y$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int y^{2} d x$

Passaggio 5.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int y^{2} d x$

Passaggio 5.4

Applica la regola costante.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{2} x + C$

Passaggio 5.5

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{x^{3}}{3} + C) + y^{2} x + C$

Passaggio 5.6

Semplifica.

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + g (y)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + 2 x y + 3$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3} + y^{2} x + g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y x^{3} + y^{2} x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ .

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Passaggio 8.3.1

Poiché $x^{3}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y x^{3}$ rispetto a $y$ è $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Passaggio 8.4

Calcola $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

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Passaggio 8.4.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y^{2} x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{3} + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Passaggio 8.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{3} + x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Passaggio 8.4.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$x^{3} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Passaggio 8.5

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 x y + 3$

Passaggio 8.6

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

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Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 9.1.1

Sottrai $x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3}$

Passaggio 9.1.2

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3} - 2 x y$

Passaggio 9.1.3

Combina i termini opposti in $x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3} - 2 x y$ .

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Passaggio 9.1.3.1

Sottrai $x^{3}$ da $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 3 + 0 - 2 x y$

Passaggio 9.1.3.2

Somma $2 x y + 3$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 3 - 2 x y$

Passaggio 9.1.3.3

Sottrai $2 x y$ da $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 + 3$

Passaggio 9.1.3.4

Somma $0$ e $3$ .

$\frac{d g}{d y} = 3$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $3$ per trovare $g (y)$ .

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Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 3$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 d y$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 d y$

Passaggio 10.3

Applica la regola costante.

$g (y) = 3 y + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + 3 y + C$

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