Calcolo Esempi

$(2 x + y) d x + (x + 1) d y = 0$

Passaggio 1

Trova

$\frac{\partial M}{\partial y}$ dove

$M (x, y) = 2 x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia

$M$ rispetto a

$y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + y]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

$2 x + y$ rispetto a

$y$ è

$\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3

Poiché

$2 x$ è costante rispetto a

$y$ , la derivata di

$2 x$ rispetto a

$y$ è

$0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è

$n y^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1$

Passaggio 1.5

Somma

$0$ e

$1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Passaggio 2

Trova

$\frac{\partial N}{\partial x}$ dove

$N (x, y) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia

$N$ rispetto a

$x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

$x + 1$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.4

Poiché

$1$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$1$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Passaggio 2.5

Somma

$1$ e

$0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Passaggio 3

Verifica che

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci

$1$ a

$\frac{\partial M}{\partial y}$ e

$1$ a

$\frac{\partial N}{\partial x}$

$1 = 1$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$1 = 1$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta

$f (x, y)$ uguale all'integrale di

$M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x + y d x$

Passaggio 5

Integra

$M (x, y) = 2 x + y$ per trovare

$f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int y d x$

Passaggio 5.2

Poiché

$2$ è costante rispetto a

$x$ , sposta

$2$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int y d x$

Passaggio 5.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di

$x$ rispetto a

$x$ è

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y d x$

Passaggio 5.4

Applica la regola costante.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y x + C$

Passaggio 5.5

$\frac{1}{2}$ e

$x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + y x + C$

Passaggio 5.6

Semplifica.

$f (x, y) = x^{2} + y x + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di

$g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire

$C$ con

$g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + y x + g (y)$

Passaggio 7

Imposta

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + 1$

Passaggio 8

Trova

$\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia

$f$ rispetto a

$y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + y x + g (y)] = x + 1$

Passaggio 8.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

$x^{2} + y x + g (y)$ rispetto a

$y$ è

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

Passaggio 8.2.2

Poiché

$x^{2}$ è costante rispetto a

$y$ , la derivata di

$x^{2}$ rispetto a

$y$ è

$0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

Passaggio 8.3

Calcola

$\frac{d}{d y} [y x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché

$x$ è costante rispetto a

$y$ , la derivata di

$y x$ rispetto a

$y$ è

$x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è

$n y^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica

$x$ per

$1$ .

$0 + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di

$g (y)$ è

$\frac{d g}{d y}$ .

$0 + x + \frac{d g}{d y} = x + 1$

Passaggio 8.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Somma

$0$ e

$x$ .

$x + \frac{d g}{d y} = x + 1$

Passaggio 8.5.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + x = x + 1$

Passaggio 9

Risolvi per

$\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti

$\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai

$x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = x + 1 - x$

Passaggio 9.1.2

Combina i termini opposti in

$x + 1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Sottrai

$x$ da

$x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 + 1$

Passaggio 9.1.2.2

Somma

$0$ e

$1$ .

$\frac{d g}{d y} = 1$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di

$1$ per trovare

$g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di

$\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Passaggio 10.2

Calcola

$\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Passaggio 10.3

Applica la regola costante.

$g (y) = y + C$

Passaggio 11

Sostituisci a

$g (y)$ in

$f (x, y) = x^{2} + y x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + y x + y + C$

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