Calcolo Esempi

\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{4} y^{2}

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{4} y^{2}$

Passaggio 1

Per risolvere l'equazione differenziale, sia

v = y^{1 - n}

$v = y^{1 - n}$ , dove

n

$n$ è l'esponente di

y^{2}

$y^{2}$ .

v = y^{- 1}

$v = y^{- 1}$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione per

y

$y$ .

y = v^{- 1}

$y = v^{- 1}$

Passaggio 3

Trova la derivata di

y

$y$ rispetto a

x

$x$ .

y' = v^{- 1}

$y' = v^{- 1}$

Passaggio 4

Trova la derivata di

v^{- 1}

$v^{- 1}$ rispetto a

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata di

v^{- 1}

$v^{- 1}$ .

y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove

f (x) = 1

$f (x) = 1$ e

g (x) = v

$g (x) = v$ .

y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Poiché

1

$1$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

1

$1$ rispetto a

x

$x$ è

0

$0$ .

y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 4.4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

Moltiplica

v

$v$ per

0

$0$ .

y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 4.4.3.2

Sottrai

\frac{d}{d x} [v]

$\frac{d}{d x} [v]$ da

0

$0$ .

y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 4.4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 4.5

Riscrivi

\frac{d}{d x} [v]

$\frac{d}{d x} [v]$ come

v'

$v'$ .

y' = - \frac{v'}{v^{2}}

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

y' = - \frac{v'}{v^{2}}

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci

- \frac{v'}{v^{2}}

$- \frac{v'}{v^{2}}$ a

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ e

v^{- 1}

$v^{- 1}$ a

y

$y$ nell'equazione originale

\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{4} y^{2}

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{4} y^{2}$ .

- \frac{v'}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = x^{4} {(v^{- 1})}^{2}

$- \frac{v'}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = x^{4} {(v^{- 1})}^{2}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione differenziale come

\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)

$\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Moltiplica per

- v^{2}

$- v^{2}$ ciascun termine in

- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = x^{4} {(v^{- 1})}^{2}

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = x^{4} {(v^{- 1})}^{2}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Moltiplica ogni termine in

- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = x^{4} {(v^{- 1})}^{2}

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = x^{4} {(v^{- 1})}^{2}$ per

- v^{2}

$- v^{2}$ .

- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di

v^{2}

$v^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di

- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ nel numeratore.

\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.1.2.1.1.2

Scomponi

v^{2}

$v^{2}$ da

- v^{2}

$- v^{2}$ .

\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.1.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.1.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.1.2.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.1.2.1.3

Moltiplica

$\frac{d v}{d x}$ per

$1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.1.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{- 1} v^{2} = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.1.2.1.5

Moltiplica

$v^{- 1}$ per

$v^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1.5.1

Sposta

$v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} (v^{2} v^{- 1}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.1.2.1.5.2

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{2 - 1} = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.1.2.1.5.3

Sottrai

$1$ da

$2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{1} = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.1.2.1.6

Semplifica

$- \frac{1}{x} v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.1.2.1.7

$v$ e

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{4} {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Moltiplica gli esponenti in

${(v^{- 1})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{4} v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Passaggio 6.1.1.3.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{4} v^{- 2} v^{2}$

Passaggio 6.1.1.3.3

Moltiplica

$v^{- 2}$ per

$v^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.1

Sposta

$v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{4} (v^{2} v^{- 2})$

Passaggio 6.1.1.3.3.2

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{4} v^{2 - 2}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3

Sottrai

$2$ da

$2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{4} v^{0}$

Passaggio 6.1.1.3.4

Semplifica

$- x^{4} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{4}$

Passaggio 6.1.2

Scomponi

$v$ da

$- \frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{1}{x}) = - x^{4}$

Passaggio 6.1.3

Riordina

$v$ e

$- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = - x^{4}$

Passaggio 6.2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula

$e^{\int P (x) d x}$ , dove

$P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 6.2.2

Integra

$- \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$x$ , sposta

$- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 6.2.2.2

L'integrale di

$\frac{1}{x}$ rispetto a

$x$ è

$\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 6.2.2.3

Semplifica.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Passaggio 6.2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \ln (x)}$

Passaggio 6.2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Passaggio 6.2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 1}$

Passaggio 6.2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 6.3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore

$\frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica ogni termine per

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- x^{4})$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

$\frac{1}{x}$ e

$\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- x^{4})$

Passaggio 6.3.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- x^{4})$

Passaggio 6.3.2.3

$\frac{1}{x}$ e

$v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (- x^{4})$

Passaggio 6.3.2.4

Moltiplica

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.4.1

Moltiplica

$\frac{v}{x}$ per

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- x^{4})$

Passaggio 6.3.2.4.2

Eleva

$x$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- x^{4})$

Passaggio 6.3.2.4.3

Eleva

$x$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- x^{4})$

Passaggio 6.3.2.4.4

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- x^{4})$

Passaggio 6.3.2.4.5

Somma

$1$ e

$1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- x^{4})$

Passaggio 6.3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - \frac{1}{x} x^{4}$

Passaggio 6.3.4

Elimina il fattore comune di

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1

Sposta il negativo all'inizio di

$- \frac{1}{x}$ nel numeratore.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 1}{x} x^{4}$

Passaggio 6.3.4.2

Scomponi

$x$ da

$x^{4}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 1}{x} (x \cdot x^{3})$

Passaggio 6.3.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 1}{x} (x \cdot x^{3})$

Passaggio 6.3.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - x^{3}$

Passaggio 6.4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = - x^{3}$

Passaggio 6.5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int - x^{3} d x$

Passaggio 6.6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x} v = \int - x^{3} d x$

Passaggio 6.7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$x$ , sposta

$- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{x} v = - \int x^{3} d x$

Passaggio 6.7.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di

$x^{3}$ rispetto a

$x$ è

$\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{x} v = - (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Passaggio 6.7.3

Riscrivi

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ come

$- \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

$\frac{1}{x} v = - \frac{1}{4} x^{4} + C$

Passaggio 6.8

Risolvi per

$v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

$\frac{1}{x}$ e

$v$ .

$\frac{v}{x} = - \frac{1}{4} x^{4} + C$

Passaggio 6.8.2

$x^{4}$ e

$\frac{1}{4}$ .

$\frac{v}{x} = - \frac{x^{4}}{4} + C$

Passaggio 6.8.3

Moltiplica ogni lato per

$x$ .

$\frac{v}{x} x = (- \frac{x^{4}}{4} + C) x$

Passaggio 6.8.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.4.1.1

Elimina il fattore comune di

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{v}{x} x = (- \frac{x^{4}}{4} + C) x$

Passaggio 6.8.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$v = (- \frac{x^{4}}{4} + C) x$

Passaggio 6.8.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.4.2.1

Semplifica

$(- \frac{x^{4}}{4} + C) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$v = - \frac{x^{4}}{4} x + C x$

Passaggio 6.8.4.2.1.2

Moltiplica

$- \frac{x^{4}}{4} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.4.2.1.2.1

$x$ e

$\frac{x^{4}}{4}$ .

$v = - \frac{x \cdot x^{4}}{4} + C x$

Passaggio 6.8.4.2.1.2.2

Moltiplica

$x$ per

$x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.4.2.1.2.2.1

Moltiplica

$x$ per

$x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.4.2.1.2.2.1.1

Eleva

$x$ alla potenza di

$1$ .

$v = - \frac{x^{1} x^{4}}{4} + C x$

Passaggio 6.8.4.2.1.2.2.1.2

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$v = - \frac{x^{1 + 4}}{4} + C x$

Passaggio 6.8.4.2.1.2.2.2

Somma

$1$ e

$4$ .

$v = - \frac{x^{5}}{4} + C x$

Passaggio 7

Sostituisci

$y^{- 1}$ a

$v$ .

$y^{- 1} = - \frac{x^{5}}{4} + C x$

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