Calcolo Esempi

$3 y'' + y = 0$ , $y = \sin (k x)$

Passaggio 1

Trova $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (k x))$

Passaggio 1.2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = k x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $k x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [k x]$

Passaggio 1.3.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [k x]$

Passaggio 1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $k x$ .

$\cos (k x) \frac{d}{d x} [k x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Poiché $k$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $k x$ rispetto a $x$ è $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (k x) (k \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (k x) (k \cdot 1)$

Passaggio 1.3.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.1

Moltiplica $k$ per $1$ .

$\cos (k x) k$

Passaggio 1.3.2.3.2

Riordina i fattori di $\cos (k x) k$ .

$k \cos (k x)$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = k \cos (k x)$

Passaggio 2

Trova $y''$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata.

$y'' = \frac{d}{d x} [k \cos (k x)]$

Passaggio 2.2

Poiché $k$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $k \cos (k x)$ rispetto a $x$ è $k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$ .

$y'' = k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = k x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $k x$ .

$y'' = k (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [k x])$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$y'' = k (- \sin (u) \frac{d}{d x} [k x])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $k x$ .

$y'' = k (- \sin (k x) \frac{d}{d x} [k x])$

Passaggio 2.4

Poiché $k$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $k x$ rispetto a $x$ è $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = k (- \sin (k x) (k \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.5

Eleva $k$ alla potenza di $1$ .

$y'' = k^{1} k (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.6

Eleva $k$ alla potenza di $1$ .

$y'' = k^{1} k^{1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y'' = k^{1 + 1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.8

Somma $1$ e $1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) \cdot 1)$

Passaggio 2.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x))$

Passaggio 2.11

Riordina i fattori di $k^{2} (- \sin (k x))$ .

$y'' = - k^{2} \sin (k x)$

Passaggio 3

Sostituisci nell'equazione differenziale data.

$3 (- k^{2} \sin (k x)) + y = 0$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ a $\sin (k x)$ .

$3 (- k^{2} y) + y = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 k^{2} y + y = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 k^{2} y = - y$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 3 y$ ciascun termine in $- 3 k^{2} y = - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 3 y$ ciascun termine in $- 3 k^{2} y = - y$ .

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $k^{2}$ per $1$ .

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$k^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

Passaggio 5.3.3.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$k^{2} = \frac{1}{3}$

Passaggio 5.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$k = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{3}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.5.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.5.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.5.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 5.5.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.5.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 5.5.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.5.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.5.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.5.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 5.5.4.6.5

Calcola l'esponente.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$k = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Forma decimale:

$k = 0.57735026 \dots, - 0.57735026 \dots$

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