Calcolo Esempi

4 y'' = y

$4 y'' = y$ ,

y = e^{r x}

$y = e^{r x}$

Passaggio 1

Trova

y'

$y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{r x})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

Passaggio 1.2

La derivata di

y

$y$ rispetto a

x

$x$ è

y'

$y'$ .

y'

$y'$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ e

g (x) = r x

$g (x) = r x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta

u

$u$ come

r x

$r x$ .

\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

Passaggio 1.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ dove

a

$a$ =

e

$e$ .

e^{u} \frac{d}{d x} [r x]

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

Passaggio 1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

u

$u$ con

r x

$r x$ .

e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Poiché

r

$r$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

r x

$r x$ rispetto a

x

$x$ è

r \frac{d}{d x} [x]

$r \frac{d}{d x} [x]$ .

e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x])

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

e^{r x} (r \cdot 1)

$e^{r x} (r \cdot 1)$

Passaggio 1.3.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.1

Moltiplica

r

$r$ per

1

$1$ .

e^{r x} r

$e^{r x} r$

Passaggio 1.3.2.3.2

Riordina i fattori in

e^{r x} r

$e^{r x} r$ .

r e^{r x}

$r e^{r x}$

r e^{r x}

$r e^{r x}$

r e^{r x}

$r e^{r x}$

r e^{r x}

$r e^{r x}$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

y' = r e^{r x}

$y' = r e^{r x}$

y' = r e^{r x}

$y' = r e^{r x}$

Passaggio 2

Trova

y''

$y''$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata.

y'' = \frac{d}{d x} [r e^{r x}]

$y'' = \frac{d}{d x} [r e^{r x}]$

Passaggio 2.2

Poiché

r

$r$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

r e^{r x}

$r e^{r x}$ rispetto a

x

$x$ è

r \frac{d}{d x} [e^{r x}]

$r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$ .

y'' = r \frac{d}{d x} [e^{r x}]

$y'' = r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ e

g (x) = r x

$g (x) = r x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta

u

$u$ come

r x

$r x$ .

y'' = r (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x])

$y'' = r (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ dove

a

$a$ =

e

$e$ .

y'' = r (e^{u} \frac{d}{d x} [r x])

$y'' = r (e^{u} \frac{d}{d x} [r x])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

u

$u$ con

r x

$r x$ .

y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])

$y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])$

y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])

$y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])$

Passaggio 2.4

Poiché

r

$r$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

r x

$r x$ rispetto a

x

$x$ è

r \frac{d}{d x} [x]

$r \frac{d}{d x} [x]$ .

y'' = r (e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r (e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.5

Eleva

r

$r$ alla potenza di

1

$1$ .

y'' = r^{1} r (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r^{1} r (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.6

Eleva

r

$r$ alla potenza di

1

$1$ .

y'' = r^{1} r^{1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r^{1} r^{1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.7

Usa la regola della potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

y'' = r^{1 + 1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r^{1 + 1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.8

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

y'' = r^{2} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r^{2} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

y'' = r^{2} (e^{r x} \cdot 1)

$y'' = r^{2} (e^{r x} \cdot 1)$

Passaggio 2.10

Moltiplica

e^{r x}

$e^{r x}$ per

1

$1$ .

y'' = r^{2} e^{r x}

$y'' = r^{2} e^{r x}$

y'' = r^{2} e^{r x}

$y'' = r^{2} e^{r x}$

Passaggio 3

Sostituisci nell'equazione differenziale data.

4 (r^{2} e^{r x}) = y

$4 (r^{2} e^{r x}) = y$

Passaggio 4

Sostituisci

y

$y$ a

e^{r x}

$e^{r x}$ .

4 (r^{2} y) = y

$4 (r^{2} y) = y$

Passaggio 5

Risolvi per

r

$r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per

4 y

$4 y$ ciascun termine in

4 r^{2} y = y

$4 r^{2} y = y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Dividi per

4 y

$4 y$ ciascun termine in

4 r^{2} y = y

$4 r^{2} y = y$ .

\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune di

4

$4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

Passaggio 5.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

Passaggio 5.1.2.2

Elimina il fattore comune di

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

Passaggio 5.1.2.2.2

Dividi

$r^{2}$ per

$1$ .

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Elimina il fattore comune di

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

Passaggio 5.1.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r^{2} = \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$r = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Passaggio 5.3

Semplifica

$\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi

$\sqrt{\frac{1}{4}}$ come

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 5.3.2

Qualsiasi radice di

$1$ è

$1$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Riscrivi

$4$ come

$2^{2}$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$r = \pm \frac{1}{2}$

Passaggio 5.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di

$\pm$ per trovare la prima soluzione.

$r = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.4.2

Ora, usa il valore negativo del

$\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$r = - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$r = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

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