Calcolo Esempi

$y' = 3 x^{2}$ , $y = x^{3} - 4 + c$ , $y (0) = 5$

Passaggio 1

Verifica che la soluzione data soddisfi l'equazione differenziale.

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Passaggio 1.1

Trova $y'$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 4 + c)$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 1.1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 4 + c$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

Passaggio 1.1.3.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [c]$

Passaggio 1.1.3.4

Poiché $c$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $c$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0$

Passaggio 1.1.3.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.1.3.5.1

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Passaggio 1.1.3.5.2

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 1.1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 3 x^{2}$

Passaggio 1.2

Sostituisci nell'equazione differenziale data.

$3 x^{2} = 3 x^{2}$

Passaggio 1.3

La soluzione data soddisfa l'equazione differenziale data.

$y = x^{3} - 4 + c$ è una soluzione a $y' = 3 x^{2}$

Passaggio 2

Sostituisci la condizione iniziale.

$5 = 0^{3} - 4 + c$

Passaggio 3

Risolvi per $c$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $0^{3} - 4 + c = 5$ .

$0^{3} - 4 + c = 5$

Passaggio 3.2

Semplifica $0^{3} - 4 + c$ .

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Passaggio 3.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 4 + c = 5$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$- 4 + c = 5$

Passaggio 3.3

Sposta tutti i termini non contenenti $c$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$c = 5 + 4$

Passaggio 3.3.2

Somma $5$ e $4$ .

$c = 9$

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