Calcolo Esempi

y' = 2 y

$y' = 2 y$ ,

y = c e^{2 x}

$y = c e^{2 x}$ ,

y (0) = 3

$y (0) = 3$

Passaggio 1

Verifica che la soluzione data soddisfi l'equazione differenziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova

y'

$y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})$

Passaggio 1.1.2

La derivata di

y

$y$ rispetto a

x

$x$ è

y'

$y'$ .

y'

$y'$

Passaggio 1.1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché

c

$c$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

c e^{2 x}

$c e^{2 x}$ rispetto a

x

$x$ è

c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ e

g (x) = 2 x

$g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta

u

$u$ come

2 x

$2 x$ .

c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.1.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ dove

a

$a$ =

e

$e$ .

c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

u

$u$ con

2 x

$2 x$ .

c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Poiché

2

$2$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

2 x

$2 x$ rispetto a

x

$x$ è

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])

$c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

c e^{2 x} (2 \cdot 1)

$c e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.3.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.3.1

Moltiplica

2

$2$ per

1

$1$ .

c e^{2 x} \cdot 2

$c e^{2 x} \cdot 2$

Passaggio 1.1.3.3.3.2

Sposta

2

$2$ alla sinistra di

c e^{2 x}

$c e^{2 x}$ .

2 \cdot (c e^{2 x})

$2 \cdot (c e^{2 x})$

2 \cdot (c e^{2 x})

$2 \cdot (c e^{2 x})$

2 \cdot (c e^{2 x})

$2 \cdot (c e^{2 x})$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Riordina i fattori di

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$ .

2 e^{2 x} c

$2 e^{2 x} c$

Passaggio 1.1.3.4.2

Riordina i fattori in

2 e^{2 x} c

$2 e^{2 x} c$ .

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$

Passaggio 1.1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

y' = 2 c e^{2 x}

$y' = 2 c e^{2 x}$

y' = 2 c e^{2 x}

$y' = 2 c e^{2 x}$

Passaggio 1.2

Sostituisci nell'equazione differenziale data.

2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})

$2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})$

Passaggio 1.3

Rimuovi le parentesi.

2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}$

Passaggio 1.4

La soluzione data soddisfa l'equazione differenziale data.

y = c e^{2 x}

$y = c e^{2 x}$ è una soluzione a

y' = 2 y

$y' = 2 y$

y = c e^{2 x}

$y = c e^{2 x}$ è una soluzione a

y' = 2 y

$y' = 2 y$

Passaggio 2

Sostituisci la condizione iniziale.

3 = c e^{2 \cdot 0}

$3 = c e^{2 \cdot 0}$

Passaggio 3

Risolvi per

c

$c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come

c e^{2 \cdot 0} = 3

$c e^{2 \cdot 0} = 3$ .

c e^{2 \cdot 0} = 3

$c e^{2 \cdot 0} = 3$

Passaggio 3.2

Semplifica

c e^{2 \cdot 0}

$c e^{2 \cdot 0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica

2

$2$ per

0

$0$ .

c e^{0} = 3

$c e^{0} = 3$

Passaggio 3.2.2

Qualsiasi valore elevato a

0

$0$ è

1

$1$ .

c \cdot 1 = 3

$c \cdot 1 = 3$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica

c

$c$ per

1

$1$ .

c = 3

$c = 3$

c = 3

$c = 3$

c = 3

$c = 3$

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