Calcolo Esempi

$y' = 2 x y$ ,

$y = c e^{x^{2}}$ ,

$y (0) = 1$

Passaggio 1

Verifica che la soluzione data soddisfi l'equazione differenziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova

$y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{x^{2}})$

Passaggio 1.1.2

La derivata di

$y$ rispetto a

$x$ è

$y'$ .

$y'$

Passaggio 1.1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché

$c$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$c e^{x^{2}}$ rispetto a

$x$ è

$c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

$f (x) = e^{x}$ e

$g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta

$u$ come

$x^{2}$ .

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è

$a^{u} \ln (a)$ dove

$a$ =

$e$ .

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$x^{2}$ .

$c (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 2$ .

$c e^{x^{2}} (2 x)$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Riordina i fattori di

$c e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} c x$

Passaggio 1.1.3.4.2

Riordina i fattori in

$2 e^{x^{2}} c x$ .

$2 c x e^{x^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 2 c x e^{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Sostituisci nell'equazione differenziale data.

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$

Passaggio 1.3

Riordina i fattori in

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$ .

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x c e^{x^{2}}$

Passaggio 1.4

La soluzione data soddisfa l'equazione differenziale data.

$y = c e^{x^{2}}$ è una soluzione a

$y' = 2 x y$

$y = c e^{x^{2}}$ è una soluzione a

$y' = 2 x y$

Passaggio 2

Sostituisci la condizione iniziale.

$1 = c e^{0^{2}}$

Passaggio 3

Risolvi per

$c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come

$c e^{0^{2}} = 1$ .

$c e^{0^{2}} = 1$

Passaggio 3.2

Dividi per

$e^{0^{2}}$ ciascun termine in

$c e^{0^{2}} = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per

$e^{0^{2}}$ ciascun termine in

$c e^{0^{2}} = 1$ .

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$e^{0^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi

$c$ per

$1$ .

$c = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Elevando

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

$0$ .

$c = \frac{1}{e^{0}}$

Passaggio 3.2.3.1.2

Qualsiasi valore elevato a

$0$ è

$1$ .

$c = \frac{1}{1}$

Passaggio 3.2.3.2

Dividi

$1$ per

$1$ .

$c = 1$

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