Calcolo Esempi

\frac{d y}{d x} = e^{- y} (2 x - 3)

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} (2 x - 3)$ ,

y (1) = 0

$y (1) = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per

\frac{1}{e^{- y}}

$\frac{1}{e^{- y}}$ .

\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 3))

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 3))$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di

e^{- y}

$e^{- y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 3))

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 3))$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 3

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 3$

\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 3

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 3$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 3) d x

$\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 3) d x$

\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 3) d x

$\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 3) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 2 x - 3 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Nega l'esponente di

e^{- y}

$e^{- y}$ e rimuovilo dal denominatore.

\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 2 x - 3 d x$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in

{(e^{- y})}^{- 1}

${(e^{- y})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 2 x - 3 d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.2

Moltiplica

- y \cdot - 1

$- y \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

\int 1 e^{1 y} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 2 x - 3 d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.2.2

Moltiplica

y

$y$ per

1

$1$ .

\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x$

\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x$

\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica

e^{y}

$e^{y}$ per

1

$1$ .

\int e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x$

\int e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x$

\int e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di

e^{y}

$e^{y}$ rispetto a

y

$y$ è

e^{y}

$e^{y}$ .

e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 3 d x

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 3 d x$

e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 3 d x

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 3 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

e^{y} + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 3 d x

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 3 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché

2

$2$ è costante rispetto a

x

$x$ , sposta

2

$2$ fuori dall'integrale.

e^{y} + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 3 d x

$e^{y} + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 3 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di

x

$x$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{1}{2} x^{2}

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 3 d x

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 3 d x$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 3 x + C_{3}

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 3 x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

x^{2}

$x^{2}$ .

e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 3 x + C_{3}

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 3 x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

e^{y} + C_{1} = x^{2} - 3 x + C_{4}

$e^{y} + C_{1} = x^{2} - 3 x + C_{4}$

e^{y} + C_{1} = x^{2} - 3 x + C_{4}

$e^{y} + C_{1} = x^{2} - 3 x + C_{4}$

e^{y} + C_{1} = x^{2} - 3 x + C_{4}

$e^{y} + C_{1} = x^{2} - 3 x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come

K

$K$ .

e^{y} = x^{2} - 3 x + K

$e^{y} = x^{2} - 3 x + K$

e^{y} = x^{2} - 3 x + K

$e^{y} = x^{2} - 3 x + K$

Passaggio 3

Risolvi per

y

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

\ln (e^{y}) = \ln (x^{2} - 3 x + K)

$\ln (e^{y}) = \ln (x^{2} - 3 x + K)$

Passaggio 3.2

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Espandi

\ln (e^{y})

$\ln (e^{y})$ spostando

y

$y$ fuori dal logaritmo.

y \ln (e) = \ln (x^{2} - 3 x + K)

$y \ln (e) = \ln (x^{2} - 3 x + K)$

Passaggio 3.2.2

Il logaritmo naturale di

e

$e$ è

1

$1$ .

y \cdot 1 = \ln (x^{2} - 3 x + K)

$y \cdot 1 = \ln (x^{2} - 3 x + K)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica

y

$y$ per

1

$1$ .

y = \ln (x^{2} - 3 x + K)

$y = \ln (x^{2} - 3 x + K)$

y = \ln (x^{2} - 3 x + K)

$y = \ln (x^{2} - 3 x + K)$

y = \ln (x^{2} - 3 x + K)

$y = \ln (x^{2} - 3 x + K)$

Passaggio 4

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di

K

$K$ sostituendo

x

$x$ con

1

$1$ e

y

$y$ con

0

$0$ in

y = \ln (x^{2} - 3 x + K)

$y = \ln (x^{2} - 3 x + K)$ .

0 = \ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K)

$0 = \ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K)$

Passaggio 5

Risolvi per

K

$K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come

\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K) = 0

$\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K) = 0$ .

\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K) = 0

$\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K) = 0$

Passaggio 5.2

Per risolvere per

K

$K$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

e^{\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K)} = e^{0}

$e^{\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K)} = e^{0}$

Passaggio 5.3

Riscrivi

\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K) = 0

$\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K) = 0$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se

x

$x$ e

b

$b$ sono numeri reali positivi e

b \neq 1

$b \neq 1$ , allora

\log_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ è equivalente a

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

e^{0} = 1^{2} - 3 \cdot 1 + K

$e^{0} = 1^{2} - 3 \cdot 1 + K$

Passaggio 5.4

Risolvi per

K

$K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Riscrivi l'equazione come

1^{2} - 3 \cdot 1 + K = e^{0}

$1^{2} - 3 \cdot 1 + K = e^{0}$ .

1^{2} - 3 \cdot 1 + K = e^{0}

$1^{2} - 3 \cdot 1 + K = e^{0}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica

1^{2} - 3 \cdot 1 + K

$1^{2} - 3 \cdot 1 + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

1 - 3 \cdot 1 + K = e^{0}

$1 - 3 \cdot 1 + K = e^{0}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Moltiplica

- 3

$- 3$ per

1

$1$ .

1 - 3 + K = e^{0}

$1 - 3 + K = e^{0}$

1 - 3 + K = e^{0}

$1 - 3 + K = e^{0}$

Passaggio 5.4.2.2

Sottrai

3

$3$ da

1

$1$ .

- 2 + K = e^{0}

$- 2 + K = e^{0}$

- 2 + K = e^{0}

$- 2 + K = e^{0}$

Passaggio 5.4.3

Qualsiasi valore elevato a

0

$0$ è

1

$1$ .

- 2 + K = 1

$- 2 + K = 1$

Passaggio 5.4.4

Sposta tutti i termini non contenenti

K

$K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.1

Somma

2

$2$ a entrambi i lati dell'equazione.

K = 1 + 2

$K = 1 + 2$

Passaggio 5.4.4.2

Somma

1

$1$ e

2

$2$ .

K = 3

$K = 3$

K = 3

$K = 3$

K = 3

$K = 3$

K = 3

$K = 3$

Passaggio 6

Sostituisci

3

$3$ a

K

$K$ in

y = \ln (x^{2} - 3 x + K)

$y = \ln (x^{2} - 3 x + K)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci

3

$3$ a

K

$K$ .

y = \ln (x^{2} - 3 x + 3)

$y = \ln (x^{2} - 3 x + 3)$

y = \ln (x^{2} - 3 x + 3)

$y = \ln (x^{2} - 3 x + 3)$

Inserisci il TUO problema