Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ , $y (1) = 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} - \frac{3}{x}$

Passaggio 1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y - 3}{x}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{4 y - 3}$ .

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $4 y - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{4 y - 3} d y = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{4 y - 3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = 4 y - 3$ . Allora $d u = 4 d y$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 4 y - 3$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $4 y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [4 y - 3]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 y - 3$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $4 y$ rispetto a $y$ è $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Passaggio 2.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Passaggio 2.2.1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $y$ è $0$ .

$4 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.4.2

Somma $4$ e $0$ .

$4$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2.2

Sposta $4$ alla sinistra di $u$ .

$\int \frac{1}{4 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 y - 3$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $4$ .

$4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |)) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{4}$ e $\ln (| 4 y - 3 |)$ .

$4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 \ln (| x |) + 4 C$

Passaggio 3.3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |) = 4 C$

Passaggio 3.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Semplifica $\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1

Semplifica $- 4 \ln (| x |)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

Passaggio 3.4.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{4}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln (x^{4}) = 4 C$

Passaggio 3.4.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$

Passaggio 3.5

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}})} = e^{4 C}$

Passaggio 3.6

Riscrivi $\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4 C} = \frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}$

Passaggio 3.7

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}$ .

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica ogni lato per $x^{4}$ .

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

Passaggio 3.7.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| 4 y - 3 | = e^{4 C} x^{4}$

Passaggio 3.7.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.2.1

Riordina i fattori in $e^{4 C} x^{4}$ .

$| 4 y - 3 | = x^{4} e^{4 C}$

Passaggio 3.7.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$4 y - 3 = \pm x^{4} e^{4 C}$

Passaggio 3.7.4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$

Passaggio 3.7.4.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

Passaggio 3.7.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

Passaggio 3.7.4.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\pm x^{4} C}{4} + \frac{3}{4}$

Passaggio 4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $1$ in $y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$ .

$1 = \frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

Passaggio 6

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4} = 1$ .

$\frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Passaggio 6.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{C \cdot 1}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $C$ per $1$ .

$\frac{C}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Passaggio 6.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sottrai $\frac{3}{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{C}{4} = 1 - \frac{3}{4}$

Passaggio 6.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{C}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

Passaggio 6.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{C}{4} = \frac{4 - 3}{4}$

Passaggio 6.3.4

Sottrai $3$ da $4$ .

$\frac{C}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.4

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$C = 1$

Passaggio 7

Sostituisci $1$ a $C$ in $y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $1$ a $C$ .

$y = \frac{1 x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

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