Calcolo Esempi

\frac{d y}{d t} = e^{t}

$\frac{d y}{d t} = e^{t}$ ,

y (0) = 1

$y (0) = 1$ ,

t = 5

$t = 5$ ,

h = 0.5

$h = 0.5$

Passaggio 1

Definisci

f (t, y)

$f (t, y)$ tale che

\frac{d y}{d t} = f (t, y)

$\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

f (t, y) = e^{t}

$f (t, y) = e^{t}$

Passaggio 2

Trova

f (0, 1)

$f (0, 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci

0

$0$ a

t

$t$ e

1

$1$ a

y

$y$

f (0, 1) = e^{0}

$f (0, 1) = e^{0}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci

e

$e$ con un'approssimazione.

f (0, 1) = {2.71828182}^{0}

$f (0, 1) = {2.71828182}^{0}$

Passaggio 2.2.2

Eleva

2.71828182

$2.71828182$ alla potenza di

0

$0$ .

f (0, 1) = 1

$f (0, 1) = 1$

f (0, 1) = 1

$f (0, 1) = 1$

f (0, 1) = 1

$f (0, 1) = 1$

Passaggio 3

Usa la formula ricorsiva

y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})

$y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ per trovare

y_{1}

$y_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci.

y_{1} = 1 + 0.5 \cdot 1

$y_{1} = 1 + 0.5 \cdot 1$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica

0.5

$0.5$ per

1

$1$ .

y_{1} = 1 + 0.5

$y_{1} = 1 + 0.5$

Passaggio 3.2.2

Somma

1

$1$ e

0.5

$0.5$ .

y_{1} = 1.5

$y_{1} = 1.5$

y_{1} = 1.5

$y_{1} = 1.5$

y_{1} = 1.5

$y_{1} = 1.5$

Passaggio 4

Usa la formula ricorsiva

t_{1} = t_{0} + h

$t_{1} = t_{0} + h$ per trovare

t_{1}

$t_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci.

t_{1} = 0 + 0.5

$t_{1} = 0 + 0.5$

Passaggio 4.2

Somma

0

$0$ e

0.5

$0.5$ .

t_{1} = 0.5

$t_{1} = 0.5$

t_{1} = 0.5

$t_{1} = 0.5$

Passaggio 5

Trova

f (0.5, 1.5)

$f (0.5, 1.5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci

0.5

$0.5$ a

t

$t$ e

1.5

$1.5$ a

y

$y$

f (0.5, 1.5) = e^{0.5}

$f (0.5, 1.5) = e^{0.5}$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sostituisci

e

$e$ con un'approssimazione.

f (0.5, 1.5) = {2.71828182}^{0.5}

$f (0.5, 1.5) = {2.71828182}^{0.5}$

Passaggio 5.2.2

Eleva

2.71828182

$2.71828182$ alla potenza di

0.5

$0.5$ .

f (0.5, 1.5) = 1.64872127

$f (0.5, 1.5) = 1.64872127$

f (0.5, 1.5) = 1.64872127

$f (0.5, 1.5) = 1.64872127$

f (0.5, 1.5) = 1.64872127

$f (0.5, 1.5) = 1.64872127$

Passaggio 6

Usa la formula ricorsiva

y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})

$y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ per trovare

y_{2}

$y_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci.

y_{2} = 1.5 + 0.5 \cdot 1.64872127

$y_{2} = 1.5 + 0.5 \cdot 1.64872127$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica

0.5

$0.5$ per

1.64872127

$1.64872127$ .

y_{2} = 1.5 + 0.82436063

$y_{2} = 1.5 + 0.82436063$

Passaggio 6.2.2

Somma

1.5

$1.5$ e

0.82436063

$0.82436063$ .

y_{2} = 2.32436063

$y_{2} = 2.32436063$

y_{2} = 2.32436063

$y_{2} = 2.32436063$

y_{2} = 2.32436063

$y_{2} = 2.32436063$

Passaggio 7

Usa la formula ricorsiva

t_{2} = t_{1} + h

$t_{2} = t_{1} + h$ per trovare

t_{2}

$t_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci.

t_{2} = 0.5 + 0.5

$t_{2} = 0.5 + 0.5$

Passaggio 7.2

Somma

0.5

$0.5$ e

0.5

$0.5$ .

t_{2} = 1

$t_{2} = 1$

t_{2} = 1

$t_{2} = 1$

Passaggio 8

Prosegui allo stesso modo finché i valori desiderati non sono approssimati.

Passaggio 9

Elenca le approssimazioni in una tabella.

\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.5 & 1.5 \\ 1 & 2.32436063 \\ 1.5 & 3.68350154 \\ 2 & 5.92434608 \\ 2.5 & 9.61887413 \\ 3 & 15.71012111 \\ 3.5 & 25.75288957 \\ 4 & 42.31061555 \\ 4.5 & 69.60969057 \\ 5 & 114.61825622 \end{array}

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.5 & 1.5 \\ 1 & 2.32436063 \\ 1.5 & 3.68350154 \\ 2 & 5.92434608 \\ 2.5 & 9.61887413 \\ 3 & 15.71012111 \\ 3.5 & 25.75288957 \\ 4 & 42.31061555 \\ 4.5 & 69.60969057 \\ 5 & 114.61825622 \end{array}$

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