Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = e^{t}$ , $y (0) = 0$ , $t = 1$ , $h = 0.1$

Passaggio 1

Definisci $f (t, y)$ tale che $\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

$f (t, y) = e^{t}$

Passaggio 2

Trova $f (0, 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci $0$ a $t$ e $0$ a $y$

$f (0, 0) = e^{0}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f (0, 0) = {2.71828182}^{0}$

Passaggio 2.2.2

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $0$ .

$f (0, 0) = 1$

Passaggio 3

Usa la formula ricorsiva $y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ per trovare $y_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci.

$y_{1} = 0 + 0.1 \cdot 1$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica $0.1$ per $1$ .

$y_{1} = 0 + 0.1$

Passaggio 3.2.2

Somma $0$ e $0.1$ .

$y_{1} = 0.1$

Passaggio 4

Usa la formula ricorsiva $t_{1} = t_{0} + h$ per trovare $t_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci.

$t_{1} = 0 + 0.1$

Passaggio 4.2

Somma $0$ e $0.1$ .

$t_{1} = 0.1$

Passaggio 5

Trova $f (0.1, 0.1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $0.1$ a $t$ e $0.1$ a $y$

$f (0.1, 0.1) = e^{0.1}$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f (0.1, 0.1) = {2.71828182}^{0.1}$

Passaggio 5.2.2

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $0.1$ .

$f (0.1, 0.1) = 1.10517091$

Passaggio 6

Usa la formula ricorsiva $y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ per trovare $y_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci.

$y_{2} = 0.1 + 0.1 \cdot 1.10517091$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $0.1$ per $1.10517091$ .

$y_{2} = 0.1 + 0.11051709$

Passaggio 6.2.2

Somma $0.1$ e $0.11051709$ .

$y_{2} = 0.21051709$

Passaggio 7

Usa la formula ricorsiva $t_{2} = t_{1} + h$ per trovare $t_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci.

$t_{2} = 0.1 + 0.1$

Passaggio 7.2

Somma $0.1$ e $0.1$ .

$t_{2} = 0.2$

Passaggio 8

Prosegui allo stesso modo finché i valori desiderati non sono approssimati.

Passaggio 9

Elenca le approssimazioni in una tabella.

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 0 \\ 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.21051709 \\ 0.3 & 0.33265736 \\ 0.4 & 0.46764324 \\ 0.5 & 0.61682571 \\ 0.6 & 0.78169784 \\ 0.7 & 0.96390972 \\ 0.8 & 1.16528499 \\ 0.9 & 1.38783908 \\ 1 & 1.63379939 \end{array}$

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