Calcolo Esempi

\frac{d y}{d t} = e^{t}

$\frac{d y}{d t} = e^{t}$ ,

y (0) = 0

$y (0) = 0$ ,

t = 1

$t = 1$ ,

h = 0.1

$h = 0.1$

Passaggio 1

Definisci

f (t, y)

$f (t, y)$ tale che

\frac{d y}{d t} = f (t, y)

$\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

f (t, y) = e^{t}

$f (t, y) = e^{t}$

Passaggio 2

Trova

f (0, 0)

$f (0, 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci

0

$0$ a

t

$t$ e

0

$0$ a

y

$y$

f (0, 0) = e^{0}

$f (0, 0) = e^{0}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci

e

$e$ con un'approssimazione.

f (0, 0) = {2.71828182}^{0}

$f (0, 0) = {2.71828182}^{0}$

Passaggio 2.2.2

Eleva

2.71828182

$2.71828182$ alla potenza di

0

$0$ .

f (0, 0) = 1

$f (0, 0) = 1$

f (0, 0) = 1

$f (0, 0) = 1$

f (0, 0) = 1

$f (0, 0) = 1$

Passaggio 3

Usa la formula ricorsiva

y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})

$y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ per trovare

y_{1}

$y_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci.

y_{1} = 0 + 0.1 \cdot 1

$y_{1} = 0 + 0.1 \cdot 1$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica

0.1

$0.1$ per

1

$1$ .

y_{1} = 0 + 0.1

$y_{1} = 0 + 0.1$

Passaggio 3.2.2

Somma

0

$0$ e

0.1

$0.1$ .

y_{1} = 0.1

$y_{1} = 0.1$

y_{1} = 0.1

$y_{1} = 0.1$

y_{1} = 0.1

$y_{1} = 0.1$

Passaggio 4

Usa la formula ricorsiva

t_{1} = t_{0} + h

$t_{1} = t_{0} + h$ per trovare

t_{1}

$t_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci.

t_{1} = 0 + 0.1

$t_{1} = 0 + 0.1$

Passaggio 4.2

Somma

0

$0$ e

0.1

$0.1$ .

t_{1} = 0.1

$t_{1} = 0.1$

t_{1} = 0.1

$t_{1} = 0.1$

Passaggio 5

Trova

f (0.1, 0.1)

$f (0.1, 0.1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci

0.1

$0.1$ a

t

$t$ e

0.1

$0.1$ a

y

$y$

f (0.1, 0.1) = e^{0.1}

$f (0.1, 0.1) = e^{0.1}$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sostituisci

e

$e$ con un'approssimazione.

f (0.1, 0.1) = {2.71828182}^{0.1}

$f (0.1, 0.1) = {2.71828182}^{0.1}$

Passaggio 5.2.2

Eleva

2.71828182

$2.71828182$ alla potenza di

0.1

$0.1$ .

f (0.1, 0.1) = 1.10517091

$f (0.1, 0.1) = 1.10517091$

f (0.1, 0.1) = 1.10517091

$f (0.1, 0.1) = 1.10517091$

f (0.1, 0.1) = 1.10517091

$f (0.1, 0.1) = 1.10517091$

Passaggio 6

Usa la formula ricorsiva

y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})

$y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ per trovare

y_{2}

$y_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci.

y_{2} = 0.1 + 0.1 \cdot 1.10517091

$y_{2} = 0.1 + 0.1 \cdot 1.10517091$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica

0.1

$0.1$ per

1.10517091

$1.10517091$ .

y_{2} = 0.1 + 0.11051709

$y_{2} = 0.1 + 0.11051709$

Passaggio 6.2.2

Somma

0.1

$0.1$ e

0.11051709

$0.11051709$ .

y_{2} = 0.21051709

$y_{2} = 0.21051709$

y_{2} = 0.21051709

$y_{2} = 0.21051709$

y_{2} = 0.21051709

$y_{2} = 0.21051709$

Passaggio 7

Usa la formula ricorsiva

t_{2} = t_{1} + h

$t_{2} = t_{1} + h$ per trovare

t_{2}

$t_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci.

t_{2} = 0.1 + 0.1

$t_{2} = 0.1 + 0.1$

Passaggio 7.2

Somma

0.1

$0.1$ e

0.1

$0.1$ .

t_{2} = 0.2

$t_{2} = 0.2$

t_{2} = 0.2

$t_{2} = 0.2$

Passaggio 8

Prosegui allo stesso modo finché i valori desiderati non sono approssimati.

Passaggio 9

Elenca le approssimazioni in una tabella.

\begin{matrix} t_{n} & y_{n} 0 & 0 0.1 & 0.1 0.2 & 0.21051709 0.3 & 0.33265736 0.4 & 0.46764324 0.5 & 0.61682571 0.6 & 0.78169784 0.7 & 0.96390972 0.8 & 1.16528499 0.9 & 1.38783908 1 & 1.63379939 \end{matrix}

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 0 \\ 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.21051709 \\ 0.3 & 0.33265736 \\ 0.4 & 0.46764324 \\ 0.5 & 0.61682571 \\ 0.6 & 0.78169784 \\ 0.7 & 0.96390972 \\ 0.8 & 1.16528499 \\ 0.9 & 1.38783908 \\ 1 & 1.63379939 \end{array}$

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