Calcolo Esempi

\frac{d y}{d t} = \sin (t)

$\frac{d y}{d t} = \sin (t)$ ,

y (0) = 1

$y (0) = 1$ ,

t = 0.5

$t = 0.5$ ,

h = 0.05

$h = 0.05$

Passaggio 1

Definisci

f (t, y)

$f (t, y)$ tale che

\frac{d y}{d t} = f (t, y)

$\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

f (t, y) = \sin (t)

$f (t, y) = \sin (t)$

Passaggio 2

Trova

f (0, 1)

$f (0, 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci

0

$0$ a

t

$t$ e

1

$1$ a

y

$y$

f (0, 1) = \sin (0)

$f (0, 1) = \sin (0)$

Passaggio 2.2

Calcola

\sin (0)

$\sin (0)$ .

f (0, 1) = 0

$f (0, 1) = 0$

f (0, 1) = 0

$f (0, 1) = 0$

Passaggio 3

Usa la formula ricorsiva

y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})

$y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ per trovare

y_{1}

$y_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci.

y_{1} = 1 + 0.05 \cdot 0

$y_{1} = 1 + 0.05 \cdot 0$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica

0.05

$0.05$ per

0

$0$ .

y_{1} = 1 + 0

$y_{1} = 1 + 0$

Passaggio 3.2.2

Somma

1

$1$ e

0

$0$ .

y_{1} = 1

$y_{1} = 1$

y_{1} = 1

$y_{1} = 1$

y_{1} = 1

$y_{1} = 1$

Passaggio 4

Usa la formula ricorsiva

t_{1} = t_{0} + h

$t_{1} = t_{0} + h$ per trovare

t_{1}

$t_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci.

t_{1} = 0 + 0.05

$t_{1} = 0 + 0.05$

Passaggio 4.2

Somma

0

$0$ e

0.05

$0.05$ .

t_{1} = 0.05

$t_{1} = 0.05$

t_{1} = 0.05

$t_{1} = 0.05$

Passaggio 5

Trova

f (0.05, 1)

$f (0.05, 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci

0.05

$0.05$ a

t

$t$ e

1

$1$ a

y

$y$

f (0.05, 1) = \sin (0.05)

$f (0.05, 1) = \sin (0.05)$

Passaggio 5.2

Calcola

\sin (0.05)

$\sin (0.05)$ .

f (0.05, 1) = 0.04997916

$f (0.05, 1) = 0.04997916$

f (0.05, 1) = 0.04997916

$f (0.05, 1) = 0.04997916$

Passaggio 6

Usa la formula ricorsiva

y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})

$y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ per trovare

y_{2}

$y_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci.

y_{2} = 1 + 0.05 \cdot 0.04997916

$y_{2} = 1 + 0.05 \cdot 0.04997916$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica

0.05

$0.05$ per

0.04997916

$0.04997916$ .

y_{2} = 1 + 0.00249895

$y_{2} = 1 + 0.00249895$

Passaggio 6.2.2

Somma

1

$1$ e

0.00249895

$0.00249895$ .

y_{2} = 1.00249895

$y_{2} = 1.00249895$

y_{2} = 1.00249895

$y_{2} = 1.00249895$

y_{2} = 1.00249895

$y_{2} = 1.00249895$

Passaggio 7

Usa la formula ricorsiva

t_{2} = t_{1} + h

$t_{2} = t_{1} + h$ per trovare

t_{2}

$t_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci.

t_{2} = 0.05 + 0.05

$t_{2} = 0.05 + 0.05$

Passaggio 7.2

Somma

0.05

$0.05$ e

0.05

$0.05$ .

t_{2} = 0.1

$t_{2} = 0.1$

t_{2} = 0.1

$t_{2} = 0.1$

Passaggio 8

Prosegui allo stesso modo finché i valori desiderati non sono approssimati.

Passaggio 9

Elenca le approssimazioni in una tabella.

\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.05 & 1 \\ 0.1 & 1.00249895 \\ 0.15 & 1.00749062 \\ 0.2 & 1.01496253 \\ 0.25 & 1.024896 \\ 0.3 & 1.0372662 \\ 0.35 & 1.05204221 \\ 0.4 & 1.0691871 \\ 0.45 & 1.08865801 \\ 0.5 & 1.11040629 \end{array}

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.05 & 1 \\ 0.1 & 1.00249895 \\ 0.15 & 1.00749062 \\ 0.2 & 1.01496253 \\ 0.25 & 1.024896 \\ 0.3 & 1.0372662 \\ 0.35 & 1.05204221 \\ 0.4 & 1.0691871 \\ 0.45 & 1.08865801 \\ 0.5 & 1.11040629 \end{array}$

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