Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} + 2 x$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per

$x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 2 (x + h)$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Riscrivi

${(x + h)}^{2}$ come

$(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 2 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.2

Espandi

$(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 2 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 2 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 2 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.3.1.1

Moltiplica

$x$ per

$x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 2 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.3.1.2

Moltiplica

$h$ per

$h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 2 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.3.2

Somma

$x h$ e

$h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.3.2.1

Riordina

$x$ e

$h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 2 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.3.2.2

Somma

$h x$ e

$h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h$

Passaggio 2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta

$2 x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h + 2 x$

Passaggio 2.2.2

Sposta

$x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 2 h + 2 x$

Passaggio 2.2.3

Riordina

$2 h x$ e

$h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x$

$f (x) = x^{2} + 2 x$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x$

$f (x) = x^{2} + 2 x$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - (x^{2} + 2 x)}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - x^{2} - (2 x)}{h}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica

$2$ per

$- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - x^{2} - 2 x}{h}$

Passaggio 4.1.3

Sottrai

$x^{2}$ da

$x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 2 x + 0 - 2 x}{h}$

Passaggio 4.1.4

Somma

$h^{2}$ e

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 2 x - 2 x}{h}$

Passaggio 4.1.5

Sottrai

$2 x$ da

$2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 0}{h}$

Passaggio 4.1.6

Somma

$h^{2} + 2 h x + 2 h$ e

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h}{h}$

Passaggio 4.1.7

Scomponi

$h$ da

$h^{2} + 2 h x + 2 h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Scomponi

$h$ da

$h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 2 h}{h}$

Passaggio 4.1.7.2

Scomponi

$h$ da

$2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 2 h}{h}$

Passaggio 4.1.7.3

Scomponi

$h$ da

$2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 2}{h}$

Passaggio 4.1.7.4

Scomponi

$h$ da

$h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 2}{h}$

Passaggio 4.1.7.5

Scomponi

$h$ da

$h (h + 2 x) + h \cdot 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 2)}{h}$

Passaggio 4.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di

$h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 2)}{h}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi

$h + 2 x + 2$ per

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 2$

Passaggio 4.2.2

Riordina

$h$ e

$2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 2$

Passaggio 5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando

$h$ tende a

$0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di

$2 x$ che è costante, mentre

$h$ tende a

$0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di

$2$ che è costante, mentre

$h$ tende a

$0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + 2$

Passaggio 6

Calcola il limite di

$h$ inserendo

$0$ per

$h$ .

$2 x + 0 + 2$

Passaggio 7

Somma

$2 x$ e

$0$ .

$2 x + 2$

Passaggio 8

Inserisci il TUO problema