Calcolo Esempi

$y = x^{\ln (x)}$

Passaggio 1

Data $y = f (x)$ , trova il logaritmo naturale di entrambi i lati $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\ln (x)})$

Passaggio 2

Espandi il lato di destra.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Espandi $\ln (x^{\ln (x)})$ spostando $\ln (x)$ fuori dal logaritmo.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (x)$

Passaggio 2.2

Eleva $\ln (x)$ alla potenza di $1$ .

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln (x)$

Passaggio 2.3

Eleva $\ln (x)$ alla potenza di $1$ .

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (y) = {\ln (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

Passaggio 3

Differenzia l'espressione usando la regola della catena, tenendo a mente che $y$ è una funzione di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $\ln (y)$ sul lato sinistro usando la regola della catena.

$\frac{y'}{y} = \ln^{2} (x)$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{y'}{y} = 2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{1}{x}$

Passaggio 3.2.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

$\frac{1}{x}$ e $2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} \ln (x)$

Passaggio 3.2.4.2

$\frac{2}{x}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Passaggio 3.2.5

Semplifica $2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

Passaggio 4

Isola $y'$ e sostituisci la funzione originale a $y$ nel lato destro.

$y' = \frac{\ln (x^{2})}{x} x^{\ln (x)}$

Passaggio 5

Semplifica il lato di destra.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{\ln (x^{2})}{x}$ e $x^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}}{x}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $x^{\ln (x)}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $x$ da $\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x}$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}}$

Passaggio 5.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Passaggio 5.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Passaggio 5.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}}{1}$

Passaggio 5.2.2.5

Dividi $\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ per $1$ .

$y' = \ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$

Passaggio 5.3

Riordina i fattori in $\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ .

$y' = x^{\ln (x) - 1} \ln (x^{2})$

Inserisci il TUO problema