Calcolo Esempi

$y = x^{4} - 8 x^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{4} - 8 x^{2})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia.

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Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 4 x^{3} - 16 x$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 16 x$

Passaggio 6

Imposta $\frac{d y}{d x} = 0$ quindi risolvi per $x$ in termini di $y$ .

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Passaggio 6.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 6.1.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3} - 16 x$ .

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Passaggio 6.1.1.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Passaggio 6.1.1.2

Scomponi $4 x$ da $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Passaggio 6.1.1.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 6.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Passaggio 6.1.3

Scomponi.

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Passaggio 6.1.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 6.1.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 6.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 6.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.4.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 6.4.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 6.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 6.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 6.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, - 2, 2$

Passaggio 7

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 7.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 0^{4} - 8 {(0)}^{2}$

Passaggio 7.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 0^{4} - 8 \cdot 0^{2}$

Passaggio 7.3

Semplifica $0^{4} - 8 \cdot 0^{2}$ .

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Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0 - 8 \cdot 0^{2}$

Passaggio 7.3.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0 - 8 \cdot 0$

Passaggio 7.3.1.3

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$y = 0 + 0$

Passaggio 7.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0$

Passaggio 8

Semplifica ${(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2}$ .

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Passaggio 8.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$y = 16 - 8 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 8.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$y = 16 - 8 \cdot 4$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$y = 16 - 32$

Passaggio 8.2

Sottrai $32$ da $16$ .

$y = - 16$

Passaggio 9

Trova i punti dove $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 0)$

$(- 2, - 16)$

$(2, - 16)$

Passaggio 10

Inserisci il TUO problema