Calcolo Esempi

$y = | x^{2} - x |$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (| x^{2} - x |)$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = x^{2} - x$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $| u |$ rispetto a $u$ è $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - x$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 3.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.2.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1)$

Passaggio 3.2.5.2

Riordina i fattori di $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = (2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |})$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |})$

Passaggio 6

Imposta $\frac{d y}{d x} = 0$ quindi risolvi per $x$ in termini di $y$ .

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Passaggio 6.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$

Passaggio 6.2

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.2.1

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 6.2.2

Risolvi $2 x - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 6.2.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 6.2.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

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Passaggio 6.2.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3

Imposta $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.3.1

Imposta $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ uguale a $0$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$

Passaggio 6.3.2

Risolvi $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 6.3.2.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$x^{2} - x = 0$

Passaggio 6.3.2.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 6.3.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} - x$ .

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Passaggio 6.3.2.2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 0$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Scomponi $x$ da $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

Passaggio 6.3.2.2.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 0$

Passaggio 6.3.2.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 6.3.2.2.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.3.2.2.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.3.2.2.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 6.3.2.2.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 6.3.2.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x - 1) = 0$ vera.

$x = 0, 1$

Passaggio 6.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{2}, 0, 1$

Passaggio 6.5

Escludi le soluzioni che non rendono $(2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 7

Semplifica $| {(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2}) |$ .

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Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$y = | \frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) |$

Passaggio 7.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = | \frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) |$

Passaggio 7.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{1}{2} |$

Passaggio 7.2

Per scrivere $- \frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} |$

Passaggio 7.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} |$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{2}{4} |$

Passaggio 7.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = | \frac{1 - 2}{4} |$

Passaggio 7.5

Sottrai $2$ da $1$ .

$y = | \frac{- 1}{4} |$

Passaggio 7.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = | - \frac{1}{4} |$

Passaggio 7.7

$- \frac{1}{4}$ corrisponde approssimativamente a $- 0.25$ , che è un valore negativo, perciò rendi negativo $- \frac{1}{4}$ ed elimina il valore assoluto

$y = \frac{1}{4}$

Passaggio 8

Trova i punti dove $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$

Passaggio 9

Inserisci il TUO problema