Calcolo Esempi

${(x^{3} - 2 x)}^{2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

$f (x) = x^{2}$ e

$g (x) = x^{3} - 2 x$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta

$u$ come

$x^{3} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è

$n u^{n - 1}$ dove

$n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$x^{3} - 2 x$ .

$2 (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

$x^{3} - 2 x$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 3$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 2.3

Poiché

$- 2$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 2 x$ rispetto a

$x$ è

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} - 2 \cdot 1)$

Passaggio 2.5

Moltiplica

$- 2$ per

$1$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} - 2)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x^{3} + 2 (- 2 x)) (3 x^{2} - 2)$

Passaggio 3.2

Moltiplica

$- 2$ per

$2$ .

$(2 x^{3} - 4 x) (3 x^{2} - 2)$

Passaggio 3.3

Espandi

$(2 x^{3} - 4 x) (3 x^{2} - 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{3} (3 x^{2} - 2) - 4 x (3 x^{2} - 2)$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{3} (3 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2} - 2)$

Passaggio 3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{3} (3 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Passaggio 3.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot 3 x^{3} x^{2} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica

$x^{3}$ per

$x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.2.1

Sposta

$x^{2}$ .

$2 \cdot 3 (x^{2} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Passaggio 3.4.1.2.2

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \cdot 3 x^{2 + 3} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Passaggio 3.4.1.2.3

Somma

$2$ e

$3$ .

$2 \cdot 3 x^{5} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Passaggio 3.4.1.3

Moltiplica

$2$ per

$3$ .

$6 x^{5} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Passaggio 3.4.1.4

Moltiplica

$- 2$ per

$2$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Passaggio 3.4.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 2$

Passaggio 3.4.1.6

Moltiplica

$x$ per

$x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1.6.1

Sposta

$x^{2}$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 (x^{2} x) - 4 x \cdot - 2$

Passaggio 3.4.1.6.2

Moltiplica

$x^{2}$ per

$x$ .

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Passaggio 3.4.1.6.2.1

Eleva

$x$ alla potenza di

$1$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) - 4 x \cdot - 2$

Passaggio 3.4.1.6.2.2

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 x^{2 + 1} - 4 x \cdot - 2$

Passaggio 3.4.1.6.3

Somma

$2$ e

$1$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 x^{3} - 4 x \cdot - 2$

Passaggio 3.4.1.7

Moltiplica

$- 4$ per

$3$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 12 x^{3} - 4 x \cdot - 2$

Passaggio 3.4.1.8

Moltiplica

$- 2$ per

$- 4$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 12 x^{3} + 8 x$

Passaggio 3.4.2

Sottrai

$12 x^{3}$ da

$- 4 x^{3}$ .

$6 x^{5} - 16 x^{3} + 8 x$

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