Calcolo Esempi

y = x^{2}

$y = x^{2}$ ,

y = x

$y = x$

Passaggio 1

Per calcolare il volume del solido, devi innanzitutto definire l'area di ogni sezione, quindi eseguire l'integrazione su tutto l'intervallo. L'area di ogni sezione è un cerchio con raggio

f (x)

$f (x)$ e

A = π r^{2}

$A = π r^{2}$ .

V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ dove

f (x) = x

$f (x) = x$ e

g (x) = x^{2}

$g (x) = x^{2}$

Passaggio 2

Moltiplica gli esponenti in

{(x^{2})}^{2}

${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

V = x^{2} - x^{2 \cdot 2}

$V = x^{2} - x^{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2

Moltiplica

2

$2$ per

2

$2$ .

V = x^{2} - x^{4}

$V = x^{2} - x^{4}$

V = x^{2} - x^{4}

$V = x^{2} - x^{4}$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

V = π (\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)

$V = π (\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di

x^{2}

$x^{2}$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{1}{3} x^{3}

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Passaggio 5

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ e

x^{3}

$x^{3}$ .

V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Passaggio 6

Poiché

- 1

$- 1$ è costante rispetto a

x

$x$ , sposta

- 1

$- 1$ fuori dall'integrale.

V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{4} d x)

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{4} d x)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di

x^{4}

$x^{4}$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{1}{5} x^{5}

$\frac{1}{5} x^{5}$ .

V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1}))

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1}))$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ e

x^{5}

$x^{5}$ .

V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

Passaggio 8.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Calcola

\frac{x^{3}}{3}

$\frac{x^{3}}{3}$ per

1

$1$ e per

0

$0$ .

V = π ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))

$V = π ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

Passaggio 8.2.2

Calcola

\frac{x^{5}}{5}

$\frac{x^{5}}{5}$ per

1

$1$ e per

0

$0$ .

V = π (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Passaggio 8.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

V = π (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Passaggio 8.2.3.2

Elevando

0

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Passaggio 8.2.3.3

Elimina il fattore comune di

0

$0$ e

3

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.3.1

Scomponi

3

$3$ da

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Passaggio 8.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.3.2.1

Scomponi

3

$3$ da

3

$3$ .

V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Passaggio 8.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Passaggio 8.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Passaggio 8.2.3.3.2.4

Dividi

0

$0$ per

1

$1$ .

V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Passaggio 8.2.3.4

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Passaggio 8.2.3.5

Somma

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ e

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Passaggio 8.2.3.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Passaggio 8.2.3.7

Elevando

0

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{5}))$

Passaggio 8.2.3.8

Elimina il fattore comune di

0

$0$ e

5

$5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.8.1

Scomponi

5

$5$ da

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 (0)}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

Passaggio 8.2.3.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.8.2.1

Scomponi

5

$5$ da

5

$5$ .

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Passaggio 8.2.3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Passaggio 8.2.3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{1}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{1}))$

Passaggio 8.2.3.8.2.4

Dividi

0

$0$ per

1

$1$ .

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))$

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))$

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))$

Passaggio 8.2.3.9

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} + 0))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} + 0))$

Passaggio 8.2.3.10

Somma

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ e

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

Passaggio 8.2.3.11

Per scrivere

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{5}{5}

$\frac{5}{5}$ .

V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

Passaggio 8.2.3.12

Per scrivere

- \frac{1}{5}

$- \frac{1}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 8.2.3.13

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di

15

$15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.13.1

Moltiplica

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ per

\frac{5}{5}

$\frac{5}{5}$ .

V = π (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})

$V = π (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 8.2.3.13.2

Moltiplica

3

$3$ per

5

$5$ .

V = π (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 8.2.3.13.3

Moltiplica

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ per

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

Passaggio 8.2.3.13.4

Moltiplica

5

$5$ per

3

$3$ .

V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

Passaggio 8.2.3.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

V = π (\frac{5 - 3}{15})

$V = π (\frac{5 - 3}{15})$

Passaggio 8.2.3.15

Sottrai

3

$3$ da

5

$5$ .

V = π (\frac{2}{15})

$V = π (\frac{2}{15})$

Passaggio 8.2.3.16

π

$π$ e

\frac{2}{15}

$\frac{2}{15}$ .

V = \frac{π \cdot 2}{15}

$V = \frac{π \cdot 2}{15}$

Passaggio 8.2.3.17

Sposta

2

$2$ alla sinistra di

π

$π$ .

V = \frac{2 π}{15}

$V = \frac{2 π}{15}$

V = \frac{2 π}{15}

$V = \frac{2 π}{15}$

V = \frac{2 π}{15}

$V = \frac{2 π}{15}$

V = \frac{2 π}{15}

$V = \frac{2 π}{15}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

V = \frac{2 π}{15}

$V = \frac{2 π}{15}$

Forma decimale:

V = 0.41887902 \dots

$V = 0.41887902 \dots$

Passaggio 10

Inserisci il TUO problema