Calcolo Esempi

y = 4 x - 2

$y = 4 x - 2$ ,

(1, 3)

$(1, 3)$

Passaggio 1

La media quadratica di una funzione

f

$f$ su un intervallo

[a, b]

$[a, b]$ specificato è la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati dei valori originali.

f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori effettivi nella formula della media quadratica di una funzione.

f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{3 - 1} \cdot (\int_{1}^{3} {(4 x - 2)}^{2} d x)}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{3 - 1} \cdot (\int_{1}^{3} {(4 x - 2)}^{2} d x)}$

Passaggio 3

Calcola l'integrale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia

u = 4 x - 2

$u = 4 x - 2$ . Allora

d u = 4 d x

$d u = 4 d x$ , quindi

\frac{1}{4} d u = d x

$\frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sia

u = 4 x - 2

$u = 4 x - 2$ . Trova

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Differenzia

4 x - 2

$4 x - 2$ .

\frac{d}{d x} [4 x - 2]

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Passaggio 3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

4 x - 2

$4 x - 2$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.1.1.3

Calcola

\frac{d}{d x} [4 x]

$\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.1

Poiché

4

$4$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

4 x

$4 x$ rispetto a

x

$x$ è

4 \frac{d}{d x} [x]

$4 \frac{d}{d x} [x]$ .

4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.1.1.3.3

Moltiplica

4

$4$ per

1

$1$ .

4 + \frac{d}{d x} [- 2]

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

4 + \frac{d}{d x} [- 2]

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.1

Poiché

- 2

$- 2$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

- 2

$- 2$ rispetto a

x

$x$ è

0

$0$ .

4 + 0

$4 + 0$

Passaggio 3.1.1.4.2

Somma

4

$4$ e

0

$0$ .

4

$4$

4

$4$

4

$4$

Passaggio 3.1.2

Sostituisci

x

$x$ con il limite inferiore in

u = 4 x - 2

$u = 4 x - 2$ .

u_{lower} = 4 \cdot 1 - 2

$u_{lower} = 4 \cdot 1 - 2$

Passaggio 3.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Moltiplica

4

$4$ per

1

$1$ .

u_{lower} = 4 - 2

$u_{lower} = 4 - 2$

Passaggio 3.1.3.2

Sottrai

2

$2$ da

4

$4$ .

u_{lower} = 2

$u_{lower} = 2$

u_{lower} = 2

$u_{lower} = 2$

Passaggio 3.1.4

Sostituisci

x

$x$ con il limite superiore in

u = 4 x - 2

$u = 4 x - 2$ .

u_{upper} = 4 \cdot 3 - 2

$u_{upper} = 4 \cdot 3 - 2$

Passaggio 3.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1

Moltiplica

4

$4$ per

3

$3$ .

u_{upper} = 12 - 2

$u_{upper} = 12 - 2$

Passaggio 3.1.5.2

Sottrai

2

$2$ da

12

$12$ .

u_{upper} = 10

$u_{upper} = 10$

u_{upper} = 10

$u_{upper} = 10$

Passaggio 3.1.6

I valori trovati per

u_{lower}

$u_{lower}$ e

u_{upper}

$u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

u_{lower} = 2

$u_{lower} = 2$

u_{upper} = 10

$u_{upper} = 10$

Passaggio 3.1.7

Riscrivi il problema utilizzando

u

$u$ ,

d u

$d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u

$\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u$

\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u

$\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u$

Passaggio 3.2

u^{2}

$u^{2}$ e

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ .

\int_{2}^{10} \frac{u^{2}}{4} d u

$\int_{2}^{10} \frac{u^{2}}{4} d u$

Passaggio 3.3

Poiché

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ è costante rispetto a

u

$u$ , sposta

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

\frac{1}{4} \int_{2}^{10} u^{2} d u

$\frac{1}{4} \int_{2}^{10} u^{2} d u$

Passaggio 3.4

Secondo la regola di potenza, l'intero di

u^{2}

$u^{2}$ rispetto a

u

$u$ è

\frac{1}{3} u^{3}

$\frac{1}{3} u^{3}$ .

\frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{2}^{10}

$\frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{2}^{10}$

Passaggio 3.5

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Calcola

\frac{1}{3} u^{3}

$\frac{1}{3} u^{3}$ per

10

$10$ e per

2

$2$ .

\frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Passaggio 3.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Eleva

10

$10$ alla potenza di

3

$3$ .

\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Passaggio 3.5.2.2

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ e

1000

$1000$ .

\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Passaggio 3.5.2.3

Eleva

2

$2$ alla potenza di

3

$3$ .

\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)$

Passaggio 3.5.2.4

Moltiplica

8

$8$ per

- 1

$- 1$ .

\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - 8 (\frac{1}{3}))

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - 8 (\frac{1}{3}))$

Passaggio 3.5.2.5

- 8

$- 8$ e

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} + \frac{- 8}{3})

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} + \frac{- 8}{3})$

Passaggio 3.5.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3})

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3})$

Passaggio 3.5.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

\frac{1}{4} \cdot \frac{1000 - 8}{3}

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1000 - 8}{3}$

Passaggio 3.5.2.8

Sottrai

8

$8$ da

1000

$1000$ .

\frac{1}{4} \cdot \frac{992}{3}

$\frac{1}{4} \cdot \frac{992}{3}$

Passaggio 3.5.2.9

Moltiplica

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ per

\frac{992}{3}

$\frac{992}{3}$ .

\frac{992}{4 \cdot 3}

$\frac{992}{4 \cdot 3}$

Passaggio 3.5.2.10

Moltiplica

4

$4$ per

3

$3$ .

\frac{992}{12}

$\frac{992}{12}$

Passaggio 3.5.2.11

Elimina il fattore comune di

992

$992$ e

12

$12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.11.1

Scomponi

4

$4$ da

992

$992$ .

\frac{4 (248)}{12}

$\frac{4 (248)}{12}$

Passaggio 3.5.2.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.11.2.1

Scomponi

4

$4$ da

12

$12$ .

\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

Passaggio 3.5.2.11.2.2

Elimina il fattore comune.

\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

Passaggio 3.5.2.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

\frac{248}{3}

$\frac{248}{3}$

\frac{248}{3}

$\frac{248}{3}$

\frac{248}{3}

$\frac{248}{3}$

\frac{248}{3}

$\frac{248}{3}$

\frac{248}{3}

$\frac{248}{3}$

\frac{248}{3}

$\frac{248}{3}$

Passaggio 4

Semplifica la formula della media quadratica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica

\frac{1}{3 - 1}

$\frac{1}{3 - 1}$ per

\frac{248}{3}

$\frac{248}{3}$ .

f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{(3 - 1) \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{(3 - 1) \cdot 3}}$

Passaggio 4.2

Sottrai

1

$1$ da

3

$3$ .

f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{2 \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{2 \cdot 3}}$

Passaggio 4.3

Riduci l'espressione

\frac{248}{2 \cdot 3}

$\frac{248}{2 \cdot 3}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scomponi

2

$2$ da

248

$248$ .

f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

Passaggio 4.3.2

Scomponi

2

$2$ da

2 \cdot 3

$2 \cdot 3$ .

f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 (3)}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 (3)}}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune.

f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

Passaggio 4.3.4

Riscrivi l'espressione.

f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}$

f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}$

Passaggio 4.4

Riscrivi

\sqrt{\frac{124}{3}}

$\sqrt{\frac{124}{3}}$ come

\frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$ .

f_{rms} = \frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Riscrivi

124

$124$ come

2^{2} \cdot 31

$2^{2} \cdot 31$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.1

Scomponi

4

$4$ da

124

$124$ .

f_{rms} = \frac{\sqrt{4 (31)}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{4 (31)}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.5.1.2

Riscrivi

4

$4$ come

2^{2}

$2^{2}$ .

f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}$

f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.5.2

Estrai i termini dal radicale.

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.6

Moltiplica

\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}

$\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ per

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Moltiplica

\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}

$\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ per

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 4.7.2

Eleva

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ alla potenza di

1

$1$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 4.7.3

Eleva

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ alla potenza di

1

$1$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 4.7.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 4.7.5

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 4.7.6

Riscrivi

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ come

3

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.6.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ come

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.7.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.7.6.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.7.6.4

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}