Calcolo Esempi

y = 3 x^{2} + 3 x

$y = 3 x^{2} + 3 x$ ,

(- 5, 1)

$(- 5, 1)$

Passaggio 1

Scrivi

y = 3 x^{2} + 3 x

$y = 3 x^{2} + 3 x$ come funzione.

f (x) = 3 x^{2} + 3 x

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

{x | x \in R}

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

f (x)

$f (x)$ è continua su

[- 5, 1]

$[- 5, 1]$ .

f (x)

$f (x)$ è continua

Passaggio 4

Il valore medio della funzione

f

$f$ rispetto all'intervallo

[a, b]

$[a, b]$ è definito come

A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (\int_{- 5}^{1} 3 x^{2} + 3 x d x)

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (\int_{- 5}^{1} 3 x^{2} + 3 x d x)$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (\int_{- 5}^{1} 3 x^{2} d x + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (\int_{- 5}^{1} 3 x^{2} d x + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

Passaggio 7

Poiché

3

$3$ è costante rispetto a

x

$x$ , sposta

3

$3$ fuori dall'integrale.

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 \int_{- 5}^{1} x^{2} d x + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 \int_{- 5}^{1} x^{2} d x + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di

x^{2}

$x^{2}$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{1}{3} x^{3}

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

Passaggio 9

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ e

x^{3}

$x^{3}$ .

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

Passaggio 10

Poiché

3

$3$ è costante rispetto a

x

$x$ , sposta

3

$3$ fuori dall'integrale.

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 \int_{- 5}^{1} x d x)

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 \int_{- 5}^{1} x d x)$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di

x

$x$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{1}{2} x^{2}

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{1}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{1}))$

Passaggio 12

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

x^{2}

$x^{2}$ .

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}))$

Passaggio 12.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Calcola

\frac{x^{3}}{3}

$\frac{x^{3}}{3}$ per

1

$1$ e per

- 5

$- 5$ .

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}))$

Passaggio 12.2.2

Calcola

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$ per

1

$1$ e per

- 5

$- 5$ .

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.2

Eleva

- 5

$- 5$ alla potenza di

3

$3$ .

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} - \frac{- 125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} - \frac{- 125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + \frac{125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + \frac{125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.4

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{125}{3})) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{125}{3})) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.5

Moltiplica

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$ per

1

$1$ .

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + \frac{125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + \frac{125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1 + 125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1 + 125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.7

Somma

1

$1$ e

125

$125$ .

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{126}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{126}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.8

Elimina il fattore comune di

126

$126$ e

3

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.8.1

Scomponi

3

$3$ da

126

$126$ .

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.8.2.1

Scomponi

3

$3$ da

3

$3$ .

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3 (1)}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3 (1)}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{42}{1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.8.2.4

Dividi

$42$ per

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 \cdot 42 + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.9

Moltiplica

$3$ per

$42$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.11

Eleva

$- 5$ alla potenza di

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1}{2} - \frac{25}{2}))$

Passaggio 12.2.3.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1 - 25}{2}))$

Passaggio 12.2.3.13

Sottrai

$25$ da

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{- 24}{2}))$

Passaggio 12.2.3.14

Elimina il fattore comune di

$- 24$ e

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.14.1

Scomponi

$2$ da

$- 24$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{2 \cdot - 12}{2}))$

Passaggio 12.2.3.14.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.14.2.1

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{2 \cdot - 12}{2 (1)}))$

Passaggio 12.2.3.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1}))$

Passaggio 12.2.3.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{- 12}{1}))$

Passaggio 12.2.3.14.2.4

Dividi

$- 12$ per

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 \cdot - 12)$

Passaggio 12.2.3.15

Moltiplica

$3$ per

$- 12$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 - 36)$

Passaggio 12.2.3.16

Sottrai

$36$ da

$126$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (90)$

Passaggio 13

Somma

$1$ e

$5$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 90$

Passaggio 14

Elimina il fattore comune di

$6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Scomponi

$6$ da

$90$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (15))$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 15)$

Passaggio 14.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = 15$

Passaggio 15

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