Calcolo Esempi

$f (x) = x^{6} - 3 x^{4}$ , $[0, 2]$

Passaggio 1

Trova la derivata di $f (x) = x^{6} - 3 x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{6} - 3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$6 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 x^{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$6 x^{5} - 3 (4 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 12 x^{3}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{5} - 12 x^{3}$ .

$6 x^{5} - 12 x^{3}$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

$f' (x)$ è continua su $[0, 2]$ .

$f' (x)$ è continua

Passaggio 4

Il valore medio della funzione $f'$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 6 x^{5} - 12 x^{3} d x)$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 6 x^{5} d x + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

Passaggio 7

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 \int_{0}^{2} x^{5} d x + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

Passaggio 9

$\frac{1}{6}$ e $x^{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

Passaggio 10

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 12$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) - 12 \int_{0}^{2} x^{3} d x)$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}))$

Passaggio 12

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}))$

Passaggio 12.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Calcola $\frac{x^{6}}{6}$ per $2$ e per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 ((\frac{2^{6}}{6}) - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}))$

Passaggio 12.2.2

Calcola $\frac{x^{4}}{4}$ per $2$ e per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{64}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.2

Elimina il fattore comune di $64$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $64$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2 (32)}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{0}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.4

Elimina il fattore comune di $0$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.4.1

Scomponi $6$ da $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{6 (0)}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.4.2.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{0}{1}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.4.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - 0) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} + 0) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.6

Somma $\frac{32}{3}$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.7

$6$ e $\frac{32}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{6 \cdot 32}{3} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.8

Moltiplica $6$ per $32$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{192}{3} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.9

Elimina il fattore comune di $192$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.9.1

Scomponi $3$ da $192$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 64}{3} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.9.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 64}{3 (1)} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 64}{3 \cdot 1} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{64}{1} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.9.2.4

Dividi $64$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.10

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.11

Elimina il fattore comune di $16$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.11.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.11.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.11.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{0^{4}}{4}))$

Passaggio 12.2.3.12

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{0}{4}))$

Passaggio 12.2.3.13

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.13.1

Scomponi $4$ da $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{4 (0)}{4}))$

Passaggio 12.2.3.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.13.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Passaggio 12.2.3.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Passaggio 12.2.3.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{0}{1}))$

Passaggio 12.2.3.13.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - 0))$

Passaggio 12.2.3.14

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 + 0))$

Passaggio 12.2.3.15

Somma $4$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 \cdot 4)$

Passaggio 12.2.3.16

Moltiplica $- 12$ per $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 48)$

Passaggio 12.2.3.17

Sottrai $48$ da $64$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (16)$

Passaggio 13

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot 16$

Passaggio 13.2

Somma $2$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 16$

Passaggio 14

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (8))$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8)$

Passaggio 14.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = 8$

Passaggio 15

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