Calcolo Esempi

$y = x^{2} - 5 x + 6$ , $y = x - 2$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

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Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{2} - 5 x + 6 = x - 2$

Passaggio 1.2

Risolvi $x^{2} - 5 x + 6 = x - 2$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 5 x + 6 - x = - 2$

Passaggio 1.2.1.2

Sottrai $x$ da $- 5 x$ .

$x^{2} - 6 x + 6 = - 2$

Passaggio 1.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 6 x + 6 + 2 = 0$

Passaggio 1.2.3

Somma $6$ e $2$ .

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

Passaggio 1.2.4

Scomponi $x^{2} - 6 x + 8$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $8$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 4, - 2 + y = x - 2$

Passaggio 1.2.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Passaggio 1.2.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0 + y = x - 2$

Passaggio 1.2.6

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.6.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 1.2.7

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.7.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.2.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 4, 2$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $4$ .

$y = (4) - 2$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $4$ per $x$ in $y = (4) - 2$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 4 - 2$

Passaggio 1.3.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = (4) - 2$

Passaggio 1.3.2.3

Sottrai $2$ da $4$ .

$y = 2$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $2$ .

$y = (2) - 2$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci $2$ per $x$ in $y = (2) - 2$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 2 - 2$

Passaggio 1.4.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = (2) - 2$

Passaggio 1.4.2.3

Sottrai $2$ da $2$ .

$y = 0$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(4, 2)$

$(2, 0)$

$(4, 2)$

$(2, 0)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{2}^{4} x - 2 d x - \int_{2}^{4} x^{2} - 5 x + 6 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $2$ e $4$ .

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Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{2}^{4} x - 2 - (x^{2} - 5 x + 6) d x$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x - 2 - x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 6$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.2.1

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$x - 2 - x^{2} + 5 x - 1 \cdot 6$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$x - 2 - x^{2} + 5 x - 6$

$\int_{2}^{4} x - 2 - x^{2} + 5 x - 6 d x$

Passaggio 3.3

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 3.3.1

Somma $x$ e $5 x$ .

$6 x - 2 - x^{2} - 6$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $6$ da $- 2$ .

$6 x - x^{2} - 8$

$\int_{2}^{4} 6 x - x^{2} - 8 d x$

Passaggio 3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{2}^{4} 6 x d x + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Passaggio 3.5

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int_{2}^{4} x d x + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Passaggio 3.6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Passaggio 3.7

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Passaggio 3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - \int_{2}^{4} x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Passaggio 3.9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Passaggio 3.10

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Passaggio 3.11

Applica la regola costante.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + - 8 x]_{2}^{4}$

Passaggio 3.12

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.12.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $4$ e per $2$ .

$6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + - 8 x]_{2}^{4}$

Passaggio 3.12.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $4$ e per $2$ .

$6 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + - 8 x]_{2}^{4}$

Passaggio 3.12.3

Calcola $- 8 x$ per $4$ e per $2$ .

$6 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4

Semplifica.

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Passaggio 3.12.4.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$6 (\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.2

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

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Passaggio 3.12.4.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.12.4.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 (\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.2.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$6 (8 - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$6 (8 - \frac{4}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 (8 - \frac{2}{1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$6 (8 - 1 \cdot 2) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$6 (8 - 2) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.6

Sottrai $2$ da $8$ .

$6 \cdot 6 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.7

Moltiplica $6$ per $6$ .

$36 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.8

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$36 - (\frac{64}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.9

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$36 - (\frac{64}{3} - \frac{8}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$36 - \frac{64 - 8}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.11

Sottrai $8$ da $64$ .

$36 - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.12

Per scrivere $36$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$36 \cdot \frac{3}{3} - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.13

$36$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{36 \cdot 3}{3} - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{36 \cdot 3 - 56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.15

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.15.1

Moltiplica $36$ per $3$ .

$\frac{108 - 56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.15.2

Sottrai $56$ da $108$ .

$\frac{52}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.16

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$\frac{52}{3} - 32 + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.17

Moltiplica $8$ per $2$ .

$\frac{52}{3} - 32 + 16$

Passaggio 3.12.4.18

Somma $- 32$ e $16$ .

$\frac{52}{3} - 16$

Passaggio 3.12.4.19

Per scrivere $- 16$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.12.4.20

$- 16$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.12.4.21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{52 - 16 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.12.4.22

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.12.4.22.1

Moltiplica $- 16$ per $3$ .

$\frac{52 - 48}{3}$

Passaggio 3.12.4.22.2

Sottrai $48$ da $52$ .

$\frac{4}{3}$

Passaggio 4

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