Calcolo Esempi

$y = x^{2} - 5 x + 6$ ,

$y = x - 2$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{2} - 5 x + 6 = x - 2$

Passaggio 1.2

Risolvi

$x^{2} - 5 x + 6 = x - 2$ per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sposta tutti i termini contenenti

$x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sottrai

$x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 5 x + 6 - x = - 2$

Passaggio 1.2.1.2

Sottrai

$x$ da

$- 5 x$ .

$x^{2} - 6 x + 6 = - 2$

Passaggio 1.2.2

Somma

$2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 6 x + 6 + 2 = 0$

Passaggio 1.2.3

Somma

$6$ e

$2$ .

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

Passaggio 1.2.4

Scomponi

$x^{2} - 6 x + 8$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Considera la forma

$x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è

$c$ e la cui formula è

$b$ . In questo caso, il cui prodotto è

$8$ e la cui somma è

$- 6$ .

$- 4, - 2 + y = x - 2$

Passaggio 1.2.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Passaggio 1.2.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

$0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0 + y = x - 2$

Passaggio 1.2.6

Imposta

$x - 4$ uguale a

$0$ e risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta

$x - 4$ uguale a

$0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Somma

$4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 1.2.7

Imposta

$x - 2$ uguale a

$0$ e risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Imposta

$x - 2$ uguale a

$0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.7.2

Somma

$2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.2.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$(x - 4) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 4, 2$

Passaggio 1.3

Risolvi

$y$ quando

$x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci

$x$ per

$4$ .

$y = (4) - 2$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci

$4$ per

$x$ in

$y = (4) - 2$ e risolvi per

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 4 - 2$

Passaggio 1.3.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = (4) - 2$

Passaggio 1.3.2.3

Sottrai

$2$ da

$4$ .

$y = 2$

Passaggio 1.4

Risolvi

$y$ quando

$x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci

$x$ per

$2$ .

$y = (2) - 2$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci

$2$ per

$x$ in

$y = (2) - 2$ e risolvi per

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 2 - 2$

Passaggio 1.4.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = (2) - 2$

Passaggio 1.4.2.3

Sottrai

$2$ da

$2$ .

$y = 0$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(4, 2)$

$(2, 0)$

$(4, 2)$

$(2, 0)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{2}^{4} x - 2 d x - \int_{2}^{4} x^{2} - 5 x + 6 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra

$2$ e

$4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{2}^{4} x - 2 - (x^{2} - 5 x + 6) d x$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x - 2 - x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 6$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Moltiplica

$- 5$ per

$- 1$ .

$x - 2 - x^{2} + 5 x - 1 \cdot 6$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$6$ .

$x - 2 - x^{2} + 5 x - 6$

$\int_{2}^{4} x - 2 - x^{2} + 5 x - 6 d x$

Passaggio 3.3

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Somma

$x$ e

$5 x$ .

$6 x - 2 - x^{2} - 6$

Passaggio 3.3.2

Sottrai

$6$ da

$- 2$ .

$6 x - x^{2} - 8$

$\int_{2}^{4} 6 x - x^{2} - 8 d x$

Passaggio 3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{2}^{4} 6 x d x + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Passaggio 3.5

Poiché

$6$ è costante rispetto a

$x$ , sposta

$6$ fuori dall'integrale.

$6 \int_{2}^{4} x d x + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Passaggio 3.6

Secondo la regola di potenza, l'intero di

$x$ rispetto a

$x$ è

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Passaggio 3.7

$\frac{1}{2}$ e

$x^{2}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Passaggio 3.8

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$x$ , sposta

$- 1$ fuori dall'integrale.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - \int_{2}^{4} x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Passaggio 3.9

Secondo la regola di potenza, l'intero di

$x^{2}$ rispetto a

$x$ è

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Passaggio 3.10

$\frac{1}{3}$ e

$x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Passaggio 3.11

Applica la regola costante.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + - 8 x]_{2}^{4}$

Passaggio 3.12

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Calcola

$\frac{x^{2}}{2}$ per

$4$ e per

$2$ .

$6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + - 8 x]_{2}^{4}$

Passaggio 3.12.2

Calcola

$\frac{x^{3}}{3}$ per

$4$ e per

$2$ .

$6 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + - 8 x]_{2}^{4}$

Passaggio 3.12.3

Calcola

$- 8 x$ per

$4$ e per

$2$ .

$6 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.1

Eleva

$4$ alla potenza di

$2$ .

$6 (\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.2

Elimina il fattore comune di

$16$ e

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.2.1

Scomponi

$2$ da

$16$ .

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.2.2.1

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 (\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.2.2.4

Dividi

$8$ per

$1$ .

$6 (8 - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.3

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$6 (8 - \frac{4}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.4

Elimina il fattore comune di

$4$ e

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.4.1

Scomponi

$2$ da

$4$ .

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.4.2.1

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 (8 - \frac{2}{1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.4.2.4

Dividi

$2$ per

$1$ .

$6 (8 - 1 \cdot 2) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.5

Moltiplica

$- 1$ per

$2$ .

$6 (8 - 2) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.6

Sottrai

$2$ da

$8$ .

$6 \cdot 6 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.7

Moltiplica

$6$ per

$6$ .

$36 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.8

Eleva

$4$ alla potenza di

$3$ .

$36 - (\frac{64}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.9

Eleva

$2$ alla potenza di

$3$ .

$36 - (\frac{64}{3} - \frac{8}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$36 - \frac{64 - 8}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.11

Sottrai

$8$ da

$64$ .

$36 - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.12

Per scrivere

$36$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{3}{3}$ .

$36 \cdot \frac{3}{3} - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.13

$36$ e

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{36 \cdot 3}{3} - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{36 \cdot 3 - 56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.15

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.15.1

Moltiplica

$36$ per

$3$ .

$\frac{108 - 56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.15.2

Sottrai

$56$ da

$108$ .

$\frac{52}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.16

Moltiplica

$- 8$ per

$4$ .

$\frac{52}{3} - 32 + 8 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.17

Moltiplica

$8$ per

$2$ .

$\frac{52}{3} - 32 + 16$

Passaggio 3.12.4.18

Somma

$- 32$ e

$16$ .

$\frac{52}{3} - 16$

Passaggio 3.12.4.19

Per scrivere

$- 16$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.12.4.20

$- 16$ e

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.12.4.21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{52 - 16 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.12.4.22

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.22.1

Moltiplica

$- 16$ per

$3$ .

$\frac{52 - 48}{3}$

Passaggio 3.12.4.22.2

Sottrai

$48$ da

$52$ .

$\frac{4}{3}$

Passaggio 4

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