Calcolo Esempi

y = {(x + 3)}^{2}

$y = {(x + 3)}^{2}$ ,

(1, 16)

$(1, 16)$

Passaggio 1

Scrivi

y = {(x + 3)}^{2}

$y = {(x + 3)}^{2}$ come funzione.

f (x) = {(x + 3)}^{2}

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$

Passaggio 2

Verifica se il punto dato è sul grafico della funzione data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola

f (x) = {(x + 3)}^{2}

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$ con

x = 1

$x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile

x

$x$ con

1

$1$ nell'espressione.

f (1) = {((1) + 3)}^{2}

$f (1) = {((1) + 3)}^{2}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Somma

1

$1$ e

3

$3$ .

f (1) = 4^{2}

$f (1) = 4^{2}$

Passaggio 2.1.2.2

Eleva

4

$4$ alla potenza di

2

$2$ .

f (1) = 16

$f (1) = 16$

Passaggio 2.1.2.3

La risposta finale è

16

$16$ .

16

$16$

16

$16$

16

$16$

Passaggio 2.2

Poiché

16 = 16

$16 = 16$ , il punto si trova sul grafico.

Il punto è sul grafico

Passaggio 3

Il coefficiente angolare della tangente è la derivata dell'espressione.

m

$m$

=

$=$ La derivata di

f (x) = {(x + 3)}^{2}

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$

Passaggio 4

Considera la definizione di limite della derivata.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 5

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Risolvi la funzione per

x = x + h

$x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sostituisci la variabile

x

$x$ con

x + h

$x + h$ nell'espressione.

f (x + h) = {((x + h) + 3)}^{2}

$f (x + h) = {((x + h) + 3)}^{2}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Riscrivi

{(x + h + 3)}^{2}

${(x + h + 3)}^{2}$ come

(x + h + 3) (x + h + 3)

$(x + h + 3) (x + h + 3)$ .

f (x + h) = (x + h + 3) (x + h + 3)

$f (x + h) = (x + h + 3) (x + h + 3)$

Passaggio 5.1.2.2

Espandi

(x + h + 3) (x + h + 3)

$(x + h + 3) (x + h + 3)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Passaggio 5.1.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.3.1

Moltiplica

x

$x$ per

x

$x$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3

$f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Passaggio 5.1.2.3.2

Sposta

3

$3$ alla sinistra di

x

$x$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + 3 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Passaggio 5.1.2.3.3

Moltiplica

h

$h$ per

h

$h$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Passaggio 5.1.2.3.4

Sposta

3

$3$ alla sinistra di

h

$h$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 \cdot h + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 \cdot h + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Passaggio 5.1.2.3.5

Moltiplica

3

$3$ per

3

$3$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Passaggio 5.1.2.4

Somma

x h

$x h$ e

h x

$h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.4.1

Riordina

x

$x$ e

h

$h$ .

f (x + h) = x^{2} + h x + h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Passaggio 5.1.2.4.2

Somma

h x

$h x$ e

h x

$h x$ .

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Passaggio 5.1.2.5

Somma

3 x

$3 x$ e

3 x

$3 x$ .

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 6 x + 3 h + 9

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 6 x + 3 h + 9$

Passaggio 5.1.2.6

Somma

3 h

$3 h$ e

3 h

$3 h$ .

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Passaggio 5.1.2.7

La risposta finale è

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$ .

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Passaggio 5.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sposta

x^{2}

$x^{2}$ .

2 h x + h^{2} + x^{2} + 6 h + 6 x + 9

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Passaggio 5.2.2

Riordina

2 h x

$2 h x$ e

h^{2}

$h^{2}$ .

h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Passaggio 5.3

Trova i componenti della definizione.

f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

f (x) = x^{2} + 6 x + 9

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

f (x) = x^{2} + 6 x + 9

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

Passaggio 6

Collega i componenti.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - (x^{2} + 6 x + 9)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - (x^{2} + 6 x + 9)}{h}$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9}{h}$

Passaggio 7.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Moltiplica

6

$6$ per

- 1

$- 1$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9}{h}$

Passaggio 7.1.2.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

9

$9$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}$

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}$

Passaggio 7.1.3

Sottrai

x^{2}

$x^{2}$ da

x^{2}

$x^{2}$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 + 0 - 6 x - 9}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 + 0 - 6 x - 9}{h}$

Passaggio 7.1.4

Somma

h^{2}

$h^{2}$ e

0

$0$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 - 6 x - 9}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 - 6 x - 9}{h}$

Passaggio 7.1.5

Sottrai

6 x

$6 x$ da

6 x

$6 x$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0 + 9 - 9}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0 + 9 - 9}{h}$

Passaggio 7.1.6

Somma

h^{2}

$h^{2}$ e

0

$0$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 9 - 9}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 9 - 9}{h}$

Passaggio 7.1.7

Sottrai

9

$9$ da

9

$9$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0}{h}$

Passaggio 7.1.8

Somma

h^{2} + 2 h x + 6 h

$h^{2} + 2 h x + 6 h$ e

0

$0$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h}{h}$

Passaggio 7.1.9

Scomponi

h

$h$ da

h^{2} + 2 h x + 6 h

$h^{2} + 2 h x + 6 h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.9.1

Scomponi

h

$h$ da

h^{2}

$h^{2}$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h \cdot h + 2 h x + 6 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 6 h}{h}$

Passaggio 7.1.9.2

Scomponi

h

$h$ da

2 h x

$2 h x$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (h) + h (2 x) + 6 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 6 h}{h}$

Passaggio 7.1.9.3

Scomponi

h

$h$ da

6 h

$6 h$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 6}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 6}{h}$

Passaggio 7.1.9.4

Scomponi

h

$h$ da

h (h) + h (2 x)

$h (h) + h (2 x)$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 6}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 6}{h}$

Passaggio 7.1.9.5

Scomponi

h

$h$ da

h (h + 2 x) + h \cdot 6

$h (h + 2 x) + h \cdot 6$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

Passaggio 7.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di

h

$h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi

$h + 2 x + 6$ per

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 6$

Passaggio 7.2.2

Riordina

$h$ e

$2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 6$

Passaggio 8

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando

$h$ tende a

$0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

Passaggio 8.2

Calcola il limite di

$2 x$ che è costante, mentre

$h$ tende a

$0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

Passaggio 8.3

Calcola il limite di

$6$ che è costante, mentre

$h$ tende a

$0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + 6$

Passaggio 9

Calcola il limite di

$h$ inserendo

$0$ per

$h$ .

$2 x + 0 + 6$

Passaggio 10

Somma

$2 x$ e

$0$ .

$2 x + 6$

Passaggio 11

Semplifica

$2 (1) + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$m = 2 + 6$

Passaggio 11.2

Somma

$2$ e

$6$ .

$m = 8$

Passaggio 12

Il coefficiente angolare è

$m = 8$ e il punto è

$(1, 16)$ .

$m = 8, (1, 16)$

Passaggio 13

Trova il valore di

$b$ usando la formula per l'equazione di una retta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Per trovare

$b$ , utilizza la formula dell'equazione di una linea.

$y = m x + b$

Passaggio 13.2

Sostituisci il valore di

$m$ nell'equazione.

$y = (8) \cdot x + b$

Passaggio 13.3

Sostituisci il valore di

$x$ nell'equazione.

$y = (8) \cdot (1) + b$

Passaggio 13.4

Sostituisci il valore di

$y$ nell'equazione.

$16 = (8) \cdot (1) + b$

Passaggio 13.5

Trova il valore di

$b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Riscrivi l'equazione come

$(8) \cdot (1) + b = 16$ .

$(8) \cdot (1) + b = 16$

Passaggio 13.5.2

Moltiplica

$8$ per

$1$ .

$8 + b = 16$

Passaggio 13.5.3

Sposta tutti i termini non contenenti

$b$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.3.1

Sottrai

$8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$b = 16 - 8$

Passaggio 13.5.3.2

Sottrai

$8$ da

$16$ .

$b = 8$

Passaggio 14

Ora che i valori di

$m$ (pendenza) e

$b$ (intercetta di y) sono noti, sostituiscili in

$y = m x + b$ per trovare l'equazione della retta.

$y = 8 x + 8$

Passaggio 15

Inserisci il TUO problema