Calcolo Esempi

$y = 3 x^{3} + x + 3$ , $(1, 7)$

Passaggio 1

Scrivi $y = 3 x^{3} + x + 3$ come funzione.

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Passaggio 2

Verifica se il punto dato è sul grafico della funzione data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola $f (x) = 3 x^{3} + x + 3$ con $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 3 \cdot 1 + 1 + 3$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1) = 3 + 1 + 3$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Somma $3$ e $1$ .

$f (1) = 4 + 3$

Passaggio 2.1.2.3.2

Somma $4$ e $3$ .

$f (1) = 7$

Passaggio 2.1.2.4

La risposta finale è $7$ .

$7$

Passaggio 2.2

Poiché $7 = 7$ , il punto si trova sul grafico.

Il punto è sul grafico

Passaggio 3

Il coefficiente angolare della tangente è la derivata dell'espressione.

$m$ $=$ La derivata di $f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Passaggio 4

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 5

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{3} + x + h + 3$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{3} + x + h + 3$

Passaggio 5.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.1

Usa il teorema binomiale.

$f (x + h) = 3 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + x + h + 3$

Passaggio 5.1.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 3 (3 x^{2} h) + 3 (3 x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Passaggio 5.1.2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.3.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 (x^{2} h) + 3 (3 x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Passaggio 5.1.2.2.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 (x^{2} h) + 9 (x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Passaggio 5.1.2.2.4

Rimuovi le parentesi.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Passaggio 5.1.2.3

La risposta finale è $3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$ .

$3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Passaggio 5.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Passaggio 5.2.2

Sposta $x$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + x + h + 3$

Passaggio 5.2.3

Sposta $x$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + h + x + 3$

Passaggio 5.2.4

Sposta $3 x^{3}$ .

$9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Passaggio 5.2.5

Sposta $9 h x^{2}$ .

$9 h^{2} x + 3 h^{3} + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Passaggio 5.2.6

Riordina $9 h^{2} x$ e $3 h^{3}$ .

$3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Passaggio 5.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = 3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

$f (x + h) = 3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Passaggio 6

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - (3 x^{3} + x + 3)}{h}$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - (3 x^{3}) - x - 1 \cdot 3}{h}$

Passaggio 7.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - 3 x^{3} - x - 1 \cdot 3}{h}$

Passaggio 7.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - 3 x^{3} - x - 3}{h}$

Passaggio 7.1.3

Sottrai $3 x^{3}$ da $3 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + x + 3 + 0 - x - 3}{h}$

Passaggio 7.1.4

Somma $3 h^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + x + 3 - x - 3}{h}$

Passaggio 7.1.5

Sottrai $x$ da $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 0 + 3 - 3}{h}$

Passaggio 7.1.6

Somma $3 h^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 3 - 3}{h}$

Passaggio 7.1.7

Sottrai $3$ da $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 0}{h}$

Passaggio 7.1.8

Somma $3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h}{h}$

Passaggio 7.1.9

Scomponi $h$ da $3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.9.1

Scomponi $h$ da $3 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h}{h}$

Passaggio 7.1.9.2

Scomponi $h$ da $9 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + 9 h x^{2} + h}{h}$

Passaggio 7.1.9.3

Scomponi $h$ da $9 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h}{h}$

Passaggio 7.1.9.4

Eleva $h$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h}{h}$

Passaggio 7.1.9.5

Scomponi $h$ da $h^{1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Passaggio 7.1.9.6

Scomponi $h$ da $h (3 h^{2}) + h (9 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x) + h (9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Passaggio 7.1.9.7

Scomponi $h$ da $h (3 h^{2} + 9 h x) + h (9 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Passaggio 7.1.9.8

Scomponi $h$ da $h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2}) + h \cdot 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1)}{h}$

Passaggio 7.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1)}{h}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1$

Passaggio 7.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sposta $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h^{2} + 9 x h + 9 x^{2} + 1$

Passaggio 7.2.2.2

Sposta $3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 x h + 9 x^{2} + 3 h^{2} + 1$

Passaggio 7.2.2.3

Riordina $9 x h$ e $9 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 x^{2} + 9 x h + 3 h^{2} + 1$

Passaggio 8

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$lim_{h \to 0} 9 x^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Passaggio 9

Calcola il limite di $9 x^{2}$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$9 x^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Passaggio 10

Sposta il termine $9 x$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Passaggio 11

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Passaggio 12

Sposta l'esponente $2$ da $h^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Passaggio 13

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1$

Passaggio 14

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$9 x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1$

Passaggio 14.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$9 x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Passaggio 15

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Moltiplica $9 x \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1.1

Moltiplica $0$ per $9$ .

$9 x^{2} + 0 x + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Passaggio 15.1.1.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$9 x^{2} + 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Passaggio 15.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$9 x^{2} + 0 + 3 \cdot 0 + 1$

Passaggio 15.1.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$9 x^{2} + 0 + 0 + 1$

Passaggio 15.2

Combina i termini opposti in $9 x^{2} + 0 + 0 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Somma $9 x^{2}$ e $0$ .

$9 x^{2} + 0 + 1$

Passaggio 15.2.2

Somma $9 x^{2}$ e $0$ .

$9 x^{2} + 1$

Passaggio 16

Trova il coefficiente angolare $m$ . In questo caso $m = 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Rimuovi le parentesi.

$m = 9 \cdot 1^{2} + 1$

Passaggio 16.2

Semplifica $9 \cdot 1^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$m = 9 \cdot 1 + 1$

Passaggio 16.2.1.2

Moltiplica $9$ per $1$ .

$m = 9 + 1$

Passaggio 16.2.2

Somma $9$ e $1$ .

$m = 10$

Passaggio 17

Il coefficiente angolare è $m = 10$ e il punto è $(1, 7)$ .

$m = 10, (1, 7)$

Passaggio 18

Trova il valore di $b$ usando la formula per l'equazione di una retta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Per trovare $b$ , utilizza la formula dell'equazione di una linea.

$y = m x + b$

Passaggio 18.2

Sostituisci il valore di $m$ nell'equazione.

$y = (10) \cdot x + b$

Passaggio 18.3

Sostituisci il valore di $x$ nell'equazione.

$y = (10) \cdot (1) + b$

Passaggio 18.4

Sostituisci il valore di $y$ nell'equazione.

$7 = (10) \cdot (1) + b$

Passaggio 18.5

Trova il valore di $b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.1

Riscrivi l'equazione come $(10) \cdot (1) + b = 7$ .

$(10) \cdot (1) + b = 7$

Passaggio 18.5.2

Moltiplica $10$ per $1$ .

$10 + b = 7$

Passaggio 18.5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $b$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.3.1

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$b = 7 - 10$

Passaggio 18.5.3.2

Sottrai $10$ da $7$ .

$b = - 3$

Passaggio 19

Ora che i valori di $m$ (pendenza) e $b$ (intercetta di y) sono noti, sostituiscili in $y = m x + b$ per trovare l'equazione della retta.

$y = 10 x - 3$

Passaggio 20

Inserisci il TUO problema