Calcolo Esempi

7 x^{2} + 3 x

$7 x^{2} + 3 x$ ,

(1, 10)

$(1, 10)$

Passaggio 1

Scrivi

7 x^{2} + 3 x

$7 x^{2} + 3 x$ come funzione.

f (x) = 7 x^{2} + 3 x

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Passaggio 2

Verifica se il punto dato è sul grafico della funzione data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola

f (x) = 7 x^{2} + 3 x

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$ con

x = 1

$x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile

x

$x$ con

1

$1$ nell'espressione.

f (1) = 7 {(1)}^{2} + 3 (1)

$f (1) = 7 {(1)}^{2} + 3 (1)$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

f (1) = 7 \cdot 1 + 3 (1)

$f (1) = 7 \cdot 1 + 3 (1)$

Passaggio 2.1.2.1.2

Moltiplica

7

$7$ per

1

$1$ .

f (1) = 7 + 3 (1)

$f (1) = 7 + 3 (1)$

Passaggio 2.1.2.1.3

Moltiplica

3

$3$ per

1

$1$ .

f (1) = 7 + 3

$f (1) = 7 + 3$

f (1) = 7 + 3

$f (1) = 7 + 3$

Passaggio 2.1.2.2

Somma

7

$7$ e

3

$3$ .

f (1) = 10

$f (1) = 10$

Passaggio 2.1.2.3

La risposta finale è

10

$10$ .

10

$10$

10

$10$

10

$10$

Passaggio 2.2

Poiché

10 = 10

$10 = 10$ , il punto si trova sul grafico.

Il punto è sul grafico

Passaggio 3

Il coefficiente angolare della tangente è la derivata dell'espressione.

m

$m$

=

$=$ La derivata di

f (x) = 7 x^{2} + 3 x

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Passaggio 4

Considera la definizione di limite della derivata.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 5

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Risolvi la funzione per

x = x + h

$x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sostituisci la variabile

x

$x$ con

x + h

$x + h$ nell'espressione.

f (x + h) = 7 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Riscrivi

{(x + h)}^{2}

${(x + h)}^{2}$ come

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ .

f (x + h) = 7 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.2

Espandi

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

f (x + h) = 7 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.3.1.1

Moltiplica

x

$x$ per

x

$x$ .

f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.3.1.2

Moltiplica

h

$h$ per

h

$h$ .

f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.3.2

Somma

x h

$x h$ e

h x

$h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.3.2.1

Riordina

x

$x$ e

h

$h$ .

f (x + h) = 7 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.3.2.2

Somma

h x

$h x$ e

h x

$h x$ .

f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

f (x + h) = 7 x^{2} + 7 (2 h x) + 7 h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 x^{2} + 7 (2 h x) + 7 h^{2} + 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.5

Moltiplica

2

$2$ per

7

$7$ .

f (x + h) = 7 x^{2} + 14 (h x) + 7 h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 (h x) + 7 h^{2} + 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

f (x + h) = 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$

f (x + h) = 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$

Passaggio 5.1.2.2

La risposta finale è

7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$ .

7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$

7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$

7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$

Passaggio 5.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sposta

3 x

$3 x$ .

7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 h + 3 x

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 h + 3 x$

Passaggio 5.2.2

Sposta

7 x^{2}

$7 x^{2}$ .

14 h x + 7 h^{2} + 7 x^{2} + 3 h + 3 x

$14 h x + 7 h^{2} + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

Passaggio 5.2.3

Riordina

14 h x

$14 h x$ e

7 h^{2}

$7 h^{2}$ .

7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x

$7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x

$7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

Passaggio 5.3

Trova i componenti della definizione.

f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

f (x) = 7 x^{2} + 3 x

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

f (x) = 7 x^{2} + 3 x

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Passaggio 6

Collega i componenti.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - (7 x^{2} + 3 x)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - (7 x^{2} + 3 x)}{h}$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - (7 x^{2}) - (3 x)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - (7 x^{2}) - (3 x)}{h}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica

7

$7$ per

- 1

$- 1$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - 7 x^{2} - (3 x)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - 7 x^{2} - (3 x)}{h}$

Passaggio 7.1.3

Moltiplica

3

$3$ per

- 1

$- 1$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - 7 x^{2} - 3 x}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - 7 x^{2} - 3 x}{h}$

Passaggio 7.1.4

Sottrai

7 x^{2}

$7 x^{2}$ da

7 x^{2}

$7 x^{2}$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

Passaggio 7.1.5

Somma

7 h^{2}

$7 h^{2}$ e

0

$0$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

Passaggio 7.1.6

Sottrai

3 x

$3 x$ da

3 x

$3 x$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 0}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 0}{h}$

Passaggio 7.1.7

Somma

7 h^{2} + 14 h x + 3 h

$7 h^{2} + 14 h x + 3 h$ e

0

$0$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h}{h}$

Passaggio 7.1.8

Scomponi

h

$h$ da

7 h^{2} + 14 h x + 3 h

$7 h^{2} + 14 h x + 3 h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.8.1

Scomponi

h

$h$ da

7 h^{2}

$7 h^{2}$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (7 h) + 14 h x + 3 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + 14 h x + 3 h}{h}$

Passaggio 7.1.8.2

Scomponi

h

$h$ da

14 h x

$14 h x$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (7 h) + h (14 x) + 3 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + h (14 x) + 3 h}{h}$

Passaggio 7.1.8.3

Scomponi

h

$h$ da

3 h

$3 h$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (7 h) + h (14 x) + h \cdot 3}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + h (14 x) + h \cdot 3}{h}$

Passaggio 7.1.8.4

Scomponi

h

$h$ da

h (7 h) + h (14 x)

$h (7 h) + h (14 x)$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (7 h + 14 x) + h \cdot 3}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x) + h \cdot 3}{h}$

Passaggio 7.1.8.5

Scomponi

h

$h$ da

h (7 h + 14 x) + h \cdot 3

$h (7 h + 14 x) + h \cdot 3$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}$

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}$

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}$

Passaggio 7.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di

h

$h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi

$7 h + 14 x + 3$ per

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 7 h + 14 x + 3$

Passaggio 7.2.2

Riordina

$7 h$ e

$14 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 14 x + 7 h + 3$

Passaggio 8

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando

$h$ tende a

$0$ .

$lim_{h \to 0} 14 x + lim_{h \to 0} 7 h + lim_{h \to 0} 3$

Passaggio 8.2

Calcola il limite di

$14 x$ che è costante, mentre

$h$ tende a

$0$ .

$14 x + lim_{h \to 0} 7 h + lim_{h \to 0} 3$

Passaggio 8.3

Sposta il termine

$7$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

$h$ .

$14 x + 7 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Passaggio 8.4

Calcola il limite di

$3$ che è costante, mentre

$h$ tende a

$0$ .

$14 x + 7 lim_{h \to 0} h + 3$

Passaggio 9

Calcola il limite di

$h$ inserendo

$0$ per

$h$ .

$14 x + 7 \cdot 0 + 3$

Passaggio 10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica

$7$ per

$0$ .

$14 x + 0 + 3$

Passaggio 10.2

Somma

$14 x$ e

$0$ .

$14 x + 3$

Passaggio 11

Semplifica

$14 (1) + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica

$14$ per

$1$ .

$m = 14 + 3$

Passaggio 11.2

Somma

$14$ e

$3$ .

$m = 17$

Passaggio 12

Il coefficiente angolare è

$m = 17$ e il punto è

$(1, 10)$ .

$m = 17, (1, 10)$

Passaggio 13

Trova il valore di

$b$ usando la formula per l'equazione di una retta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Per trovare

$b$ , usa la formula dell'equazione di una retta.

$y = m x + b$

Passaggio 13.2

Sostituisci il valore di

$m$ nell'equazione.

$y = (17) \cdot x + b$

Passaggio 13.3

Sostituisci il valore di

$x$ nell'equazione.

$y = (17) \cdot (1) + b$

Passaggio 13.4

Sostituisci il valore di

$y$ nell'equazione.

$10 = (17) \cdot (1) + b$

Passaggio 13.5

Trova il valore di

$b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Riscrivi l'equazione come

$(17) \cdot (1) + b = 10$ .

$(17) \cdot (1) + b = 10$

Passaggio 13.5.2

Moltiplica

$17$ per

$1$ .

$17 + b = 10$

Passaggio 13.5.3

Sposta tutti i termini non contenenti

$b$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.3.1

Sottrai

$17$ da entrambi i lati dell'equazione.

$b = 10 - 17$

Passaggio 13.5.3.2

Sottrai

$17$ da

$10$ .

$b = - 7$

Passaggio 14

Ora che i valori di

$m$ (coefficiente angolare) e

$b$ (intercetta di y) sono noti, sostituiscili in

$y = m x + b$ per trovare l'equazione della retta.

$y = 17 x - 7$

Passaggio 15

Inserisci il TUO problema