Calcolo Esempi

f (x) = - 3 x^{2} + 6 x - 5

$f (x) = - 3 x^{2} + 6 x - 5$ ,

[- 2, 1]

$[- 2, 1]$

Passaggio 1

f

$f$ è continua sull'intervallo

[a, b]

$[a, b]$ e differenziabile su

(a, b)

$(a, b)$ , allora esiste almeno un numero reale

c

$c$ nell'intervallo

(a, b)

$(a, b)$ tale che

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Il teorema di Lagrange esprime la relazione tra il coefficiente angolare della tangente alla curva con

$x = c$ e il coefficiente angolare della retta passante per i punti

$(a, f (a))$ e

$(b, f (b))$ .

Quando

$f (x)$ è continua su

$[a, b]$

e se

$f (x)$ differenziabile su

$(a, b)$ ,

quindi esiste almeno un punto,

$c$ in

$[a, b]$ :

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Passaggio 2

Verifica se

$f (x) = - 3 x^{2} + 6 x - 5$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2.2

$f (x)$ è continua su

$[- 2, 1]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 3

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

$- 3 x^{2} + 6 x - 5$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.1.2

Calcola

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Poiché

$- 3$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 3 x^{2}$ rispetto a

$x$ è

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.1.2.3

Moltiplica

$2$ per

$- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.1.3

Calcola

$\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Poiché

$6$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$6 x$ rispetto a

$x$ è

$6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$- 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica

$6$ per

$1$ .

$- 6 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Poiché

$- 5$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 5$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$- 6 x + 6 + 0$

Passaggio 3.1.4.2

Somma

$- 6 x + 6$ e

$0$ .

$f' (x) = - 6 x + 6$

Passaggio 3.2

La derivata prima di

$f (x)$ rispetto a

$x$ è

$- 6 x + 6$ .

$- 6 x + 6$

Passaggio 4

Definisci se la derivata è continua su

$(- 2, 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4.2

$f' (x)$ è continua su

$(- 2, 1)$ .

La funzione è continua.

Passaggio 5

La funzione è differenziabile su

$(- 2, 1)$ perché la derivata è continua su

$(- 2, 1)$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 6

$f (x)$ soddisfa le due condizioni del teorema del valor medio. È continua su

$[- 2, 1]$ e differenziabile su

$(- 2, 1)$ .

$f (x)$ è continua su

$[- 2, 1]$ e differenziabile su

$(- 2, 1)$ .

Passaggio 7

Calcola

$f (a)$ dall'intervallo

$[- 2, 1]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = - 3 {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) - 5$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva

$- 2$ alla potenza di

$2$ .

$f (- 2) = - 3 \cdot 4 + 6 (- 2) - 5$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica

$- 3$ per

$4$ .

$f (- 2) = - 12 + 6 (- 2) - 5$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica

$6$ per

$- 2$ .

$f (- 2) = - 12 - 12 - 5$

Passaggio 7.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai

$12$ da

$- 12$ .

$f (- 2) = - 24 - 5$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai

$5$ da

$- 24$ .

$f (- 2) = - 29$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è

$- 29$ .

$- 29$

Passaggio 8

Calcola

$f (b)$ dall'intervallo

$[- 2, 1]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$1$ nell'espressione.

$f (1) = - 3 {(1)}^{2} + 6 (1) - 5$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = - 3 \cdot 1 + 6 (1) - 5$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica

$- 3$ per

$1$ .

$f (1) = - 3 + 6 (1) - 5$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica

$6$ per

$1$ .

$f (1) = - 3 + 6 - 5$

Passaggio 8.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Somma

$- 3$ e

$6$ .

$f (1) = 3 - 5$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai

$5$ da

$3$ .

$f (1) = - 2$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è

$- 2$ .

$- 2$

Passaggio 9

Risolvi

$- 6 x + 6 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ per

$x$ .

$- 6 x + 6 = \frac{- (f (1) + f (- 2))}{- (1 - 2)}$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica

$\frac{(- 2) - (- 29)}{(1) - (- 2)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 29$ .

$- 6 x + 6 = \frac{- 2 + 29}{1 - (- 2)}$

Passaggio 9.1.1.2

Somma

$- 2$ e

$29$ .

$- 6 x + 6 = \frac{27}{1 - (- 2)}$

Passaggio 9.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 2$ .

$- 6 x + 6 = \frac{27}{1 + 2}$

Passaggio 9.1.2.2

Somma

$1$ e

$2$ .

$- 6 x + 6 = \frac{27}{3}$

Passaggio 9.1.3

Dividi

$27$ per

$3$ .

$- 6 x + 6 = 9$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini non contenenti

$x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sottrai

$6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 6 x = 9 - 6$

Passaggio 9.2.2

Sottrai

$6$ da

$9$ .

$- 6 x = 3$

Passaggio 9.3

Dividi per

$- 6$ ciascun termine in

$- 6 x = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Dividi per

$- 6$ ciascun termine in

$- 6 x = 3$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{3}{- 6}$

Passaggio 9.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Elimina il fattore comune di

$- 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{3}{- 6}$

Passaggio 9.3.2.1.2

Dividi

$x$ per

$1$ .

$x = \frac{3}{- 6}$

Passaggio 9.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Elimina il fattore comune di

$3$ e

$- 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1.1

Scomponi

$3$ da

$3$ .

$x = \frac{3 (1)}{- 6}$

Passaggio 9.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1.2.1

Scomponi

$3$ da

$- 6$ .

$x = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot - 2}$

Passaggio 9.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot - 2}$

Passaggio 9.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{1}{- 2}$

Passaggio 9.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 10

C'è una tangente che si trova con

$x = - \frac{1}{2}$ parallela alla retta che passa per i punti finali

$a = - 2$ e

$b = 1$ .

C'è una tangente con

$x = - \frac{1}{2}$ parallela alla retta che passa per i punti finali

$a = - 2$ e

$b = 1$

Passaggio 11

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