Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ , $[0, 6]$

Passaggio 1

Se $f$ è continua sull'intervallo $[a, b]$ e differenziabile su $(a, b)$ , allora esiste almeno un numero reale $c$ nell'intervallo $(a, b)$ tale che $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Il teorema di Lagrange esprime la relazione tra il coefficiente angolare della tangente alla curva con $x = c$ e il coefficiente angolare della retta passante per i punti $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Quando $f (x)$ è continua su $[a, b]$

e se $f (x)$ differenziabile su $(a, b)$ ,

quindi esiste almeno un punto, $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Passaggio 2

Verifica se $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2.2

$f (x)$ è continua su $[0, 6]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 3

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 3.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 3.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 3.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 3.1.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Passaggio 3.1.3.2

Somma $2 x + 2$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Passaggio 3.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Passaggio 4

Definisci se la derivata è continua su $(0, 6)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4.2

$f' (x)$ è continua su $(0, 6)$ .

La funzione è continua.

Passaggio 5

La funzione è differenziabile su $(0, 6)$ perché la derivata è continua su $(0, 6)$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 6

$f (x)$ soddisfa le due condizioni del teorema del valor medio. È continua su $[0, 6]$ e differenziabile su $(0, 6)$ .

$f (x)$ è continua su $[0, 6]$ e differenziabile su $(0, 6)$ .

Passaggio 7

Calcola $f (a)$ dall'intervallo $[0, 6]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{2} + 2 (0) - 3$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 2 (0) - 3$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 3$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 3$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $3$ da $0$ .

$f (0) = - 3$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 8

Calcola $f (b)$ dall'intervallo $[0, 6]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f (6) = {(6)}^{2} + 2 (6) - 3$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f (6) = 36 + 2 (6) - 3$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f (6) = 36 + 12 - 3$

Passaggio 8.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Somma $36$ e $12$ .

$f (6) = 48 - 3$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $3$ da $48$ .

$f (6) = 45$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $45$ .

$45$

Passaggio 9

Risolvi $2 x + 2 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ per $x$ . $2 x + 2 = \frac{- (f (6) + f (0))}{- (6 + 0)}$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica $\frac{(45) - (- 3)}{(6) - (0)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elimina il fattore comune di $(45) - (- 3)$ e $(6) - (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Riscrivi $6$ come $- 1 (- 6)$ .

$2 x + 2 = \frac{(45) - (- 3)}{- 1 (- 6) - (0)}$

Passaggio 9.1.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- 6) - (0)$ .

$2 x + 2 = \frac{(45) - (- 3)}{- 1 (- 6 + 0)}$

Passaggio 9.1.1.3

Scomponi $3$ da $45$ .

$2 x + 2 = \frac{3 (15) - (- 3)}{- 1 (- 6 + 0)}$

Passaggio 9.1.1.4

Scomponi $3$ da $- (- 3)$ .

$2 x + 2 = \frac{3 (15) + 3 (- (- 1))}{- 1 (- 6 + 0)}$

Passaggio 9.1.1.5

Scomponi $3$ da $3 (15) + 3 (- (- 1))$ .

$2 x + 2 = \frac{3 (15 - (- 1))}{- 1 (- 6 + 0)}$

Passaggio 9.1.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.6.1

Scomponi $3$ da $- 1 (- 6 + 0)$ .

$2 x + 2 = \frac{3 (15 - (- 1))}{3 (- 1 (- 2 + 0))}$

Passaggio 9.1.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$2 x + 2 = \frac{3 (15 - (- 1))}{3 (- 1 (- 2 + 0))}$

Passaggio 9.1.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x + 2 = \frac{15 - (- 1)}{- 1 (- 2 + 0)}$

Passaggio 9.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 x + 2 = \frac{15 + 1}{- 1 (- 2 + 0)}$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $15$ e $1$ .

$2 x + 2 = \frac{16}{- 1 (- 2 + 0)}$

Passaggio 9.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Somma $- 2$ e $0$ .

$2 x + 2 = \frac{16}{- 1 \cdot - 2}$

Passaggio 9.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 x + 2 = \frac{16}{2}$

Passaggio 9.1.3.3

Dividi $16$ per $2$ .

$2 x + 2 = 8$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 8 - 2$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $2$ da $8$ .

$2 x = 6$

Passaggio 9.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 6$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Passaggio 9.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Passaggio 9.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{6}{2}$

Passaggio 9.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Dividi $6$ per $2$ .

$x = 3$

Passaggio 10

C'è una tangente che si trova con $x = 3$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = 6$ .

C'è una tangente con $x = 3$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = 6$

Passaggio 11

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