Calcolo Esempi

f (x) = - 2 x^{3} - 3 x^{2}

$f (x) = - 2 x^{3} - 3 x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

- 2 x^{3} - 3 x^{2}

$- 2 x^{3} - 3 x^{2}$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 1.2

Calcola

\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché

- 2

$- 2$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

- 2 x^{3}

$- 2 x^{3}$ rispetto a

x

$x$ è

- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 3

$n = 3$ .

- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica

3

$3$ per

- 2

$- 2$ .

- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 1.3

Calcola

\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché

- 3

$- 3$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

- 3 x^{2}

$- 3 x^{2}$ rispetto a

x

$x$ è

- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

- 6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- 6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 2

$n = 2$ .

- 6 x^{2} - 3 (2 x)

$- 6 x^{2} - 3 (2 x)$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica

2

$2$ per

- 3

$- 3$ .

- 6 x^{2} - 6 x

$- 6 x^{2} - 6 x$

- 6 x^{2} - 6 x

$- 6 x^{2} - 6 x$

- 6 x^{2} - 6 x

$- 6 x^{2} - 6 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

- 6 x^{2} - 6 x

$- 6 x^{2} - 6 x$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Passaggio 2.2

Calcola

\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché

- 6

$- 6$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

- 6 x^{2}

$- 6 x^{2}$ rispetto a

x

$x$ è

- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x)

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 2

$n = 2$ .

f'' (x) = - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x)

$f'' (x) = - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica

2

$2$ per

- 6

$- 6$ .

f'' (x) = - 12 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)

$f'' (x) = - 12 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

f'' (x) = - 12 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)

$f'' (x) = - 12 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Passaggio 2.3

Calcola

\frac{d}{d x} [- 6 x]

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché

- 6

$- 6$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

- 6 x

$- 6 x$ rispetto a

x

$x$ è

- 6 \frac{d}{d x} [x]

$- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

f'' (x) = - 12 x - 6 \frac{d}{d x} x

$f'' (x) = - 12 x - 6 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

f'' (x) = - 12 x - 6 \cdot 1

$f'' (x) = - 12 x - 6 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica

- 6

$- 6$ per

1

$1$ .

f'' (x) = - 12 x - 6

$f'' (x) = - 12 x - 6$

f'' (x) = - 12 x - 6

$f'' (x) = - 12 x - 6$

f'' (x) = - 12 x - 6

$f'' (x) = - 12 x - 6$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a

0

$0$ e risolvi.

- 6 x^{2} - 6 x = 0

$- 6 x^{2} - 6 x = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

- 2 x^{3} - 3 x^{2}

$- 2 x^{3} - 3 x^{2}$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola

\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché

- 2

$- 2$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

- 2 x^{3}

$- 2 x^{3}$ rispetto a

x

$x$ è

- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 3

$n = 3$ .

- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica

3

$3$ per

- 2

$- 2$ .

- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola

\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché

- 3

$- 3$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

- 3 x^{2}

$- 3 x^{2}$ rispetto a

x

$x$ è

- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

- 6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- 6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 2

$n = 2$ .

- 6 x^{2} - 3 (2 x)

$- 6 x^{2} - 3 (2 x)$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica

2

$2$ per

- 3

$- 3$ .

f' (x) = - 6 x^{2} - 6 x

$f' (x) = - 6 x^{2} - 6 x$

f' (x) = - 6 x^{2} - 6 x

$f' (x) = - 6 x^{2} - 6 x$

f' (x) = - 6 x^{2} - 6 x

$f' (x) = - 6 x^{2} - 6 x$

Passaggio 4.2

La derivata prima di

f (x)

$f (x)$ rispetto a

x

$x$ è

- 6 x^{2} - 6 x

$- 6 x^{2} - 6 x$ .

- 6 x^{2} - 6 x

$- 6 x^{2} - 6 x$

- 6 x^{2} - 6 x

$- 6 x^{2} - 6 x$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a

0

$0$ quindi risolvi l'equazione

- 6 x^{2} - 6 x = 0

$- 6 x^{2} - 6 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a

0

$0$ .

- 6 x^{2} - 6 x = 0

$- 6 x^{2} - 6 x = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi

- 6 x

$- 6 x$ da

- 6 x^{2} - 6 x

$- 6 x^{2} - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi

- 6 x

$- 6 x$ da

- 6 x^{2}

$- 6 x^{2}$ .

- 6 x \cdot x - 6 x = 0

$- 6 x \cdot x - 6 x = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi

- 6 x

$- 6 x$ da

- 6 x

$- 6 x$ .

- 6 x \cdot x - 6 x \cdot 1 = 0

$- 6 x \cdot x - 6 x \cdot 1 = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi

- 6 x

$- 6 x$ da

- 6 x (x) - 6 x (1)

$- 6 x (x) - 6 x (1)$ .

- 6 x (x + 1) = 0

$- 6 x (x + 1) = 0$

- 6 x (x + 1) = 0

$- 6 x (x + 1) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

0

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x + 1 = 0

$x + 1 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta

x

$x$ uguale a

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta

x + 1

$x + 1$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta

x + 1

$x + 1$ uguale a

0

$0$ .

x + 1 = 0

$x + 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Sottrai

1

$1$ da entrambi i lati dell'equazione.

x = - 1

$x = - 1$

x = - 1

$x = - 1$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

- 6 x (x + 1) = 0

$- 6 x (x + 1) = 0$ vera.

x = 0, - 1

$x = 0, - 1$

x = 0, - 1

$x = 0, - 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

x = 0, - 1

$x = 0, - 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per

x = 0

$x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

- 12 \cdot 0 - 6

$- 12 \cdot 0 - 6$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica

- 12

$- 12$ per

0

$0$ .

0 - 6

$0 - 6$

Passaggio 9.2

Sottrai

6

$6$ da

0

$0$ .

- 6

$- 6$

- 6

$- 6$

Passaggio 10

x = 0

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

x = 0

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando

x = 0

$x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile

x

$x$ con

0

$0$ nell'espressione.

f (0) = - 2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2}

$f (0) = - 2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elevando

0

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

0

$0$ .

f (0) = - 2 \cdot 0 - 3 {(0)}^{2}

$f (0) = - 2 \cdot 0 - 3 {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

0

$0$ .

f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2}

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2.1.3

Elevando

0

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

0

$0$ .

f (0) = 0 - 3 \cdot 0

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica

- 3

$- 3$ per

0

$0$ .

f (0) = 0 + 0

$f (0) = 0 + 0$

f (0) = 0 + 0

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 11.2.2

Somma

0

$0$ e

0

$0$ .

f (0) = 0

$f (0) = 0$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è

0

$0$ .

y = 0

$y = 0$

y = 0

$y = 0$

y = 0

$y = 0$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per

x = - 1

$x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

- 12 \cdot - 1 - 6

$- 12 \cdot - 1 - 6$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica

- 12

$- 12$ per

- 1

$- 1$ .

12 - 6

$12 - 6$

Passaggio 13.2

Sottrai

6

$6$ da

12

$12$ .

6

$6$

6

$6$

Passaggio 14

x = - 1

$x = - 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

x = - 1

$x = - 1$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando

x = - 1

$x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile

x

$x$ con

- 1

$- 1$ nell'espressione.

f (- 1) = - 2 {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2}

$f (- 1) = - 2 {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva

- 1

$- 1$ alla potenza di

3

$3$ .

f (- 1) = - 2 \cdot - 1 - 3 {(- 1)}^{2}

$f (- 1) = - 2 \cdot - 1 - 3 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

- 1

$- 1$ .

f (- 1) = 2 - 3 {(- 1)}^{2}

$f (- 1) = 2 - 3 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva

- 1

$- 1$ alla potenza di

2

$2$ .

f (- 1) = 2 - 3 \cdot 1

$f (- 1) = 2 - 3 \cdot 1$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica

- 3

$- 3$ per

1

$1$ .

f (- 1) = 2 - 3

$f (- 1) = 2 - 3$

f (- 1) = 2 - 3

$f (- 1) = 2 - 3$

Passaggio 15.2.2

Sottrai

3

$3$ da

2

$2$ .

f (- 1) = - 1

$f (- 1) = - 1$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è

- 1

$- 1$ .

y = - 1

$y = - 1$

y = - 1

$y = - 1$

y = - 1

$y = - 1$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per

f (x) = - 2 x^{3} - 3 x^{2}

$f (x) = - 2 x^{3} - 3 x^{2}$ .

(0, 0)

$(0, 0)$ è un massimo locale

(- 1, - 1)

$(- 1, - 1)$ è un minimo locale

Passaggio 17

Inserisci il TUO problema