Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{2} + 10 x + 3$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} + 10 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $10$ per $1$ .

$10 x + 10 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 x + 10 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $10 x + 10$ e $0$ .

$10 x + 10$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 x + 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (10)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (10)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $10$ per $1$ .

$f'' (x) = 10 + \frac{d}{d x} (10)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 10 + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $10$ e $0$ .

$f'' (x) = 10$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$10 x + 10 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} + 10 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $10$ per $1$ .

$10 x + 10 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 x + 10 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $10 x + 10$ e $0$ .

$f' (x) = 10 x + 10$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $10 x + 10$ .

$10 x + 10$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $10 x + 10 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$10 x + 10 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$10 x = - 10$

Passaggio 5.3

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = - 10$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = - 10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 10}{10}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 10}{10}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 10}{10}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $- 10$ per $10$ .

$x = - 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$10$

Passaggio 9

$x = - 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un minimo locale

Passaggio 10

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 5 {(- 1)}^{2} + 10 (- 1) + 3$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = 5 \cdot 1 + 10 (- 1) + 3$

Passaggio 10.2.1.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f (- 1) = 5 + 10 (- 1) + 3$

Passaggio 10.2.1.3

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$f (- 1) = 5 - 10 + 3$

Passaggio 10.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Sottrai $10$ da $5$ .

$f (- 1) = - 5 + 3$

Passaggio 10.2.2.2

Somma $- 5$ e $3$ .

$f (- 1) = - 2$

Passaggio 10.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$y = - 2$

Passaggio 11

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 5 x^{2} + 10 x + 3$ .

$(- 1, - 2)$ è un minimo locale

Passaggio 12

Inserisci il TUO problema