Calcolo Esempi

f (x) = 2 x^{4} - 2 x^{3}

$f (x) = 2 x^{4} - 2 x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

2 x^{4} - 2 x^{3}

$2 x^{4} - 2 x^{3}$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Passaggio 1.2

Calcola

\frac{d}{d x} [2 x^{4}]

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché

2

$2$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

2 x^{4}

$2 x^{4}$ rispetto a

x

$x$ è

2 \frac{d}{d x} [x^{4}]

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 4

$n = 4$ .

2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica

4

$4$ per

2

$2$ .

8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Passaggio 1.3

Calcola

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché

$- 2$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 2 x^{3}$ rispetto a

$x$ è

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 3$ .

$8 x^{3} - 2 (3 x^{2})$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica

$3$ per

$- 2$ .

$8 x^{3} - 6 x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

$8 x^{3} - 6 x^{2}$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Passaggio 2.2

Calcola

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché

$8$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$8 x^{3}$ rispetto a

$x$ è

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica

$3$ per

$8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Passaggio 2.3

Calcola

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché

$- 6$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 6 x^{2}$ rispetto a

$x$ è

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 2$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 6 (2 x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica

$2$ per

$- 6$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 12 x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a

$0$ e risolvi.

$8 x^{3} - 6 x^{2} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

$2 x^{4} - 2 x^{3}$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})$

Passaggio 4.1.2

Calcola

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché

$2$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$2 x^{4}$ rispetto a

$x$ è

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 4$ .

$f' (x) = 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica

$4$ per

$2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})$

Passaggio 4.1.3

Calcola

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché

$- 2$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 2 x^{3}$ rispetto a

$x$ è

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{3}$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 3$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 2 (3 x^{2})$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica

$3$ per

$- 2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 6 x^{2}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di

$f (x)$ rispetto a

$x$ è

$8 x^{3} - 6 x^{2}$ .

$8 x^{3} - 6 x^{2}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a

$0$ quindi risolvi l'equazione

$8 x^{3} - 6 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a

$0$ .

$8 x^{3} - 6 x^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi

$2 x^{2}$ da

$8 x^{3} - 6 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi

$2 x^{2}$ da

$8 x^{3}$ .

$2 x^{2} (4 x) - 6 x^{2} = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi

$2 x^{2}$ da

$- 6 x^{2}$ .

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} (- 3) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi

$2 x^{2}$ da

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} (- 3)$ .

$2 x^{2} (4 x - 3) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

$0$ .

$x^{2} = 0$

$4 x - 3 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta

$x^{2}$ uguale a

$0$ e risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta

$x^{2}$ uguale a

$0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi

$x^{2} = 0$ per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica

$\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Riscrivi

$0$ come

$0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.4.2.2.3

Più o meno

$0$ è

$0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta

$4 x - 3$ uguale a

$0$ e risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta

$4 x - 3$ uguale a

$0$ .

$4 x - 3 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi

$4 x - 3 = 0$ per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Somma

$3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 3$

Passaggio 5.5.2.2

Dividi per

$4$ ciascun termine in

$4 x = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividi per

$4$ ciascun termine in

$4 x = 3$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 5.5.2.2.2.1.2

Dividi

$x$ per

$1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$2 x^{2} (4 x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{3}{4}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, \frac{3}{4}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per

$x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$24 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

$0$ .

$24 \cdot 0 - 12 \cdot 0$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica

$24$ per

$0$ .

$0 - 12 \cdot 0$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica

$- 12$ per

$0$ .

$0 + 0$

Passaggio 9.2

Somma

$0$ e

$0$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda

$0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi

$(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori

$x$ che rendono la derivata prima

$0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4}, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio

$- 2$ , dall'intervallo

$(- \infty, 0)$ nella derivata prima

$8 x^{3} - 6 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 8 {(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Eleva

$- 2$ alla potenza di

$3$ .

$f' (- 2) = 8 \cdot - 8 - 6 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Moltiplica

$8$ per

$- 8$ .

$f' (- 2) = - 64 - 6 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 10.2.2.1.3

Eleva

$- 2$ alla potenza di

$2$ .

$f' (- 2) = - 64 - 6 \cdot 4$

Passaggio 10.2.2.1.4

Moltiplica

$- 6$ per

$4$ .

$f' (- 2) = - 64 - 24$

Passaggio 10.2.2.2

Sottrai

$24$ da

$- 64$ .

$f' (- 2) = - 88$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è

$- 88$ .

$- 88$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio

$0.38$ , dall'intervallo

$(0, \frac{3}{4})$ nella derivata prima

$8 x^{3} - 6 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$0.38$ nell'espressione.

$f' (0.38) = 8 {(0.38)}^{3} - 6 {(0.38)}^{2}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Eleva

$0.38$ alla potenza di

$3$ .

$f' (0.38) = 8 \cdot 0.054872 - 6 {(0.38)}^{2}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Moltiplica

$8$ per

$0.054872$ .

$f' (0.38) = 0.438976 - 6 {(0.38)}^{2}$

Passaggio 10.3.2.1.3

Eleva

$0.38$ alla potenza di

$2$ .

$f' (0.38) = 0.438976 - 6 \cdot 0.1444$

Passaggio 10.3.2.1.4

Moltiplica

$- 6$ per

$0.1444$ .

$f' (0.38) = 0.438976 - 0.8664$

Passaggio 10.3.2.2

Sottrai

$0.8664$ da

$0.438976$ .

$f' (0.38) = - 0.427424$

Passaggio 10.3.2.3

La risposta finale è

$- 0.427424$ .

$- 0.427424$

Passaggio 10.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio

$3$ , dall'intervallo

$(\frac{3}{4}, \infty)$ nella derivata prima

$8 x^{3} - 6 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$3$ nell'espressione.

$f' (3) = 8 {(3)}^{3} - 6 {(3)}^{2}$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1

Eleva

$3$ alla potenza di

$3$ .

$f' (3) = 8 \cdot 27 - 6 {(3)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.2

Moltiplica

$8$ per

$27$ .

$f' (3) = 216 - 6 {(3)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.3

Eleva

$3$ alla potenza di

$2$ .

$f' (3) = 216 - 6 \cdot 9$

Passaggio 10.4.2.1.4

Moltiplica

$- 6$ per

$9$ .

$f' (3) = 216 - 54$

Passaggio 10.4.2.2

Sottrai

$54$ da

$216$ .

$f' (3) = 162$

Passaggio 10.4.2.3

La risposta finale è

$162$ .

$162$

Passaggio 10.5

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a

$x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a

$x = \frac{3}{4}$ , allora

$x = \frac{3}{4}$ è un minimo locale.

$x = \frac{3}{4}$ è un minimo locale

Passaggio 11

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