Calcolo Esempi

$f (x) = - 5 x^{2} + 14 x + 3$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 5 x^{2} + 14 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$- 10 x + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $14 x$ rispetto a $x$ è $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 x + 14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 10 x + 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $14$ per $1$ .

$- 10 x + 14 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 10 x + 14 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $- 10 x + 14$ e $0$ .

$- 10 x + 14$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 10 x + 14$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [14]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (14)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 x$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (14)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (14)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 10$ per $1$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{d}{d x} (14)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $14$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 10 + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $- 10$ e $0$ .

$f'' (x) = - 10$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 10 x + 14 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 5 x^{2} + 14 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$- 10 x + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $14 x$ rispetto a $x$ è $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 x + 14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 10 x + 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $14$ per $1$ .

$- 10 x + 14 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 10 x + 14 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $- 10 x + 14$ e $0$ .

$f' (x) = - 10 x + 14$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 10 x + 14$ .

$- 10 x + 14$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 10 x + 14 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 10 x + 14 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $14$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 10 x = - 14$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 10$ ciascun termine in $- 10 x = - 14$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 10$ ciascun termine in $- 10 x = - 14$ .

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 14}{- 10}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 14}{- 10}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 14}{- 10}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 14$ e $- 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 14$ .

$x = \frac{- 2 (7)}{- 10}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 10$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 5}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 5}$

Passaggio 5.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{7}{5}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{7}{5}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{7}{5}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 10$

Passaggio 9

$x = \frac{7}{5}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{7}{5}$ è un massimo locale

Passaggio 10

Trova il valore di y quando $x = \frac{7}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{7}{5}$ nell'espressione.

$f (\frac{7}{5}) = - 5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = - 5 \frac{7^{2}}{5^{2}} + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Passaggio 10.2.1.2

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{7}{5}) = - 5 \frac{49}{5^{2}} + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Passaggio 10.2.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{7}{5}) = - 5 (\frac{49}{25}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Passaggio 10.2.1.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.4.1

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$f (\frac{7}{5}) = 5 (- 1) (\frac{49}{25}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Passaggio 10.2.1.4.2

Scomponi $5$ da $25$ .

$f (\frac{7}{5}) = 5 \cdot (- 1 \frac{49}{5 \cdot 5}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Passaggio 10.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{7}{5}) = 5 \cdot (- 1 \frac{49}{5 \cdot 5}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Passaggio 10.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{7}{5}) = - 1 (\frac{49}{5}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Passaggio 10.2.1.5

Riscrivi $- 1 (\frac{49}{5})$ come $- (\frac{49}{5})$ .

$f (\frac{7}{5}) = - (\frac{49}{5}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Passaggio 10.2.1.6

Moltiplica $14 (\frac{7}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.6.1

$14$ e $\frac{7}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = - \frac{49}{5} + \frac{14 \cdot 7}{5} + 3$

Passaggio 10.2.1.6.2

Moltiplica $14$ per $7$ .

$f (\frac{7}{5}) = - \frac{49}{5} + \frac{98}{5} + 3$

Passaggio 10.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{7}{5}) = 3 + \frac{- 49 + 98}{5}$

Passaggio 10.2.2.2

Somma $- 49$ e $98$ .

$f (\frac{7}{5}) = 3 + \frac{49}{5}$

Passaggio 10.2.3

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = 3 \cdot \frac{5}{5} + \frac{49}{5}$

Passaggio 10.2.4

$3$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{3 \cdot 5}{5} + \frac{49}{5}$

Passaggio 10.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{3 \cdot 5 + 49}{5}$

Passaggio 10.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.6.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{15 + 49}{5}$

Passaggio 10.2.6.2

Somma $15$ e $49$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{64}{5}$

Passaggio 10.2.7

La risposta finale è $\frac{64}{5}$ .

$y = \frac{64}{5}$

Passaggio 11

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - 5 x^{2} + 14 x + 3$ .

$(\frac{7}{5}, \frac{64}{5})$ è un massimo locale

Passaggio 12

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