Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{4} - 2 x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{4} - 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{4}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$8 x^{3} - 2 (3 x^{2})$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$8 x^{3} - 6 x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{3} - 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 6 (2 x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 12 x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$8 x^{3} - 6 x^{2} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{4} - 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{4}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{3}$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 2 (3 x^{2})$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 6 x^{2}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $8 x^{3} - 6 x^{2}$ .

$8 x^{3} - 6 x^{2}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $8 x^{3} - 6 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$8 x^{3} - 6 x^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $2 x^{2}$ da $8 x^{3} - 6 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $2 x^{2}$ da $8 x^{3}$ .

$2 x^{2} (4 x) - 6 x^{2} = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $2 x^{2}$ da $- 6 x^{2}$ .

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} (- 3) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} (- 3)$ .

$2 x^{2} (4 x - 3) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$4 x - 3 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $4 x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $4 x - 3$ uguale a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $4 x - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 3$

Passaggio 5.5.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 3$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 5.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x^{2} (4 x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{3}{4}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, \frac{3}{4}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$24 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$24 \cdot 0 - 12 \cdot 0$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $24$ per $0$ .

$0 - 12 \cdot 0$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 12$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4}, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dall'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $8 x^{3} - 6 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 8 {(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 2) = 8 \cdot - 8 - 6 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Moltiplica $8$ per $- 8$ .

$f' (- 2) = - 64 - 6 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 10.2.2.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = - 64 - 6 \cdot 4$

Passaggio 10.2.2.1.4

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$f' (- 2) = - 64 - 24$

Passaggio 10.2.2.2

Sottrai $24$ da $- 64$ .

$f' (- 2) = - 88$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $- 88$ .

$- 88$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0.38$ , dall'intervallo $(0, \frac{3}{4})$ nella derivata prima $8 x^{3} - 6 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.38$ nell'espressione.

$f' (0.38) = 8 {(0.38)}^{3} - 6 {(0.38)}^{2}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Eleva $0.38$ alla potenza di $3$ .

$f' (0.38) = 8 \cdot 0.054872 - 6 {(0.38)}^{2}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Moltiplica $8$ per $0.054872$ .

$f' (0.38) = 0.438976 - 6 {(0.38)}^{2}$

Passaggio 10.3.2.1.3

Eleva $0.38$ alla potenza di $2$ .

$f' (0.38) = 0.438976 - 6 \cdot 0.1444$

Passaggio 10.3.2.1.4

Moltiplica $- 6$ per $0.1444$ .

$f' (0.38) = 0.438976 - 0.8664$

Passaggio 10.3.2.2

Sottrai $0.8664$ da $0.438976$ .

$f' (0.38) = - 0.427424$

Passaggio 10.3.2.3

La risposta finale è $- 0.427424$ .

$- 0.427424$

Passaggio 10.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $3$ , dall'intervallo $(\frac{3}{4}, \infty)$ nella derivata prima $8 x^{3} - 6 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = 8 {(3)}^{3} - 6 {(3)}^{2}$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f' (3) = 8 \cdot 27 - 6 {(3)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.2

Moltiplica $8$ per $27$ .

$f' (3) = 216 - 6 {(3)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (3) = 216 - 6 \cdot 9$

Passaggio 10.4.2.1.4

Moltiplica $- 6$ per $9$ .

$f' (3) = 216 - 54$

Passaggio 10.4.2.2

Sottrai $54$ da $216$ .

$f' (3) = 162$

Passaggio 10.4.2.3

La risposta finale è $162$ .

$162$

Passaggio 10.5

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = \frac{3}{4}$ , allora $x = \frac{3}{4}$ è un minimo locale.

$x = \frac{3}{4}$ è un minimo locale

Passaggio 11

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