Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{4} - 10 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{2})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$f' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 10 x^{2})$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 10 \frac{d}{d x} x^{2}$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 10 (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 10$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 20 x$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $20 x^{3} - 20 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $20$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 20 x$ rispetto a $x$ è $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 20 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 20 \cdot 1$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $- 20$ per $1$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 20$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $60 x^{2} - 20$ .

$60 x^{2} - 20$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $60 x^{2} - 20 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$60 x^{2} - 20 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $20$ a entrambi i lati dell'equazione.

$60 x^{2} = 20$

Passaggio 2.3

Dividi per $60$ ciascun termine in $60 x^{2} = 20$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $60$ ciascun termine in $60 x^{2} = 20$ .

$\frac{60 x^{2}}{60} = \frac{20}{60}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $60$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{60 x^{2}}{60} = \frac{20}{60}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{20}{60}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $20$ e $60$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Scomponi $20$ da $20$ .

$x^{2} = \frac{20 (1)}{60}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Scomponi $20$ da $60$ .

$x^{2} = \frac{20 \cdot 1}{20 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = \frac{20 \cdot 1}{20 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{3}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.5.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.5.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 2.5.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.5.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 2.5.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.5.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 2.5.4.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $\frac{\sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{\sqrt{3}}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.2.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{4}$ come $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.2.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{2}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9}{81}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $9$ e $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.4.1

Scomponi $9$ da $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 (1)}{81}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.4.2.1

Scomponi $9$ da $81$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{1}{9}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.5

$5$ e $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.7

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3}{3^{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.7.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3}{3^{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.8

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (\frac{3}{9})$

Passaggio 3.1.2.1.9

Elimina il fattore comune di $3$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.9.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 (1)}{9}$

Passaggio 3.1.2.1.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.9.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Passaggio 3.1.2.1.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Passaggio 3.1.2.1.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (\frac{1}{3})$

Passaggio 3.1.2.1.10

$- 10$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} + \frac{- 10}{3}$

Passaggio 3.1.2.1.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10}{3}$

Passaggio 3.1.2.2

Per scrivere $- \frac{10}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.1.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Moltiplica $\frac{10}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10 \cdot 3}{9}$

Passaggio 3.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5 - 10 \cdot 3}{9}$

Passaggio 3.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1

Moltiplica $- 10$ per $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5 - 30}{9}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Sottrai $30$ da $5$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 25}{9}$

Passaggio 3.1.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{25}{9}$

Passaggio 3.1.2.7

La risposta finale è $- \frac{25}{9}$ .

$- \frac{25}{9}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{\sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$ è $(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 ({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 ({(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}})) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}})) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Moltiplica $\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}$ per $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{4}$ come $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{2}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9}{81}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.6

Elimina il fattore comune di $9$ e $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.6.1

Scomponi $9$ da $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 (1)}{81}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.6.2.1

Scomponi $9$ da $81$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{1}{9}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.7

$5$ e $\frac{1}{9}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.8.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2})$

Passaggio 3.3.2.1.8.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}))$

Passaggio 3.3.2.1.9

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}))$

Passaggio 3.3.2.1.10

Moltiplica $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.11

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.11.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.11.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.11.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.11.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.11.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.11.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3}{3^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.11.5

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3}{3^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.12

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (\frac{3}{9})$

Passaggio 3.3.2.1.13

Elimina il fattore comune di $3$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.13.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 (1)}{9}$

Passaggio 3.3.2.1.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.13.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.2.1.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.2.1.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (\frac{1}{3})$

Passaggio 3.3.2.1.14

$- 10$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} + \frac{- 10}{3}$

Passaggio 3.3.2.1.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10}{3}$

Passaggio 3.3.2.2

Per scrivere $- \frac{10}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.3.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Moltiplica $\frac{10}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.2.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10 \cdot 3}{9}$

Passaggio 3.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5 - 10 \cdot 3}{9}$

Passaggio 3.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Moltiplica $- 10$ per $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5 - 30}{9}$

Passaggio 3.3.2.5.2

Sottrai $30$ da $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 25}{9}$

Passaggio 3.3.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{25}{9}$

Passaggio 3.3.2.7

La risposta finale è $- \frac{25}{9}$ .

$- \frac{25}{9}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$ è $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9}), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.67735026$ nell'espressione.

$f'' (- 0.67735026) = 60 {(- 0.67735026)}^{2} - 20$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 0.67735026$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.67735026) = 60 \cdot 0.45880338 - 20$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $60$ per $0.45880338$ .

$f'' (- 0.67735026) = 27.52820323 - 20$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $20$ da $27.52820323$ .

$f'' (- 0.67735026) = 7.52820323$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $7.52820323$ .

$7.52820323$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 0.67735026$ , la derivata seconda è $7.52820323$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Crescente su $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = 60 {(0)}^{2} - 20$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 60 \cdot 0 - 20$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $60$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 - 20$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $20$ da $0$ .

$f'' (0) = - 20$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 20$ .

$- 20$

Passaggio 6.3

Per $0$ , la derivata seconda è $- 20$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Decrescente su $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.67735026$ nell'espressione.

$f'' (0.67735026) = 60 {(0.67735026)}^{2} - 20$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $0.67735026$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.67735026) = 60 \cdot 0.45880338 - 20$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $60$ per $0.45880338$ .

$f'' (0.67735026) = 27.52820323 - 20$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $20$ da $27.52820323$ .

$f'' (0.67735026) = 7.52820323$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $7.52820323$ .

$7.52820323$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0.67735026$ , la derivata seconda è $7.52820323$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$ .

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$

Passaggio 9

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