Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

$5 x^{3} - 5 x^{2}$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché

$5$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$5 x^{3}$ rispetto a

$x$ è

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica

$3$ per

$5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché

$- 5$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 5 x^{2}$ rispetto a

$x$ è

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 2$ .

$15 x^{2} - 5 (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica

$2$ per

$- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 10 x$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

$15 x^{2} - 10 x$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Passaggio 1.2.2

Calcola

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché

$15$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$15 x^{2}$ rispetto a

$x$ è

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 2$ .

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica

$2$ per

$15$ .

$30 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Passaggio 1.2.3

Calcola

$\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché

$- 10$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 10 x$ rispetto a

$x$ è

$- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x - 10 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$30 x - 10 \cdot 1$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica

$- 10$ per

$1$ .

$f'' (x) = 30 x - 10$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di

$f (x)$ rispetto a

$x$ è

$30 x - 10$ .

$30 x - 10$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a

$0$ , quindi risolvi l'equazione

$30 x - 10 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a

$0$ .

$30 x - 10 = 0$

Passaggio 2.2

Somma

$10$ a entrambi i lati dell'equazione.

$30 x = 10$

Passaggio 2.3

Dividi per

$30$ ciascun termine in

$30 x = 10$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per

$30$ ciascun termine in

$30 x = 10$ .

$\frac{30 x}{30} = \frac{10}{30}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di

$30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{30 x}{30} = \frac{10}{30}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi

$x$ per

$1$ .

$x = \frac{10}{30}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di

$10$ e

$30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Scomponi

$10$ da

$10$ .

$x = \frac{10 (1)}{30}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Scomponi

$10$ da

$30$ .

$x = \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci

$\frac{1}{3}$ in

$f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$ per trovare il valore di

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$\frac{1}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{3}) = 5 {(\frac{1}{3})}^{3} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a

$\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 (\frac{1^{3}}{3^{3}}) - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{3}) = 5 (\frac{1}{3^{3}}) - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Eleva

$3$ alla potenza di

$3$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 (\frac{1}{27}) - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.4

$5$ e

$\frac{1}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.5

Applica la regola del prodotto a

$\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 \frac{1}{3^{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.7

Eleva

$3$ alla potenza di

$2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 (\frac{1}{9})$

Passaggio 3.1.2.1.8

$- 5$ e

$\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} + \frac{- 5}{9}$

Passaggio 3.1.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5}{9}$

Passaggio 3.1.2.2

Per scrivere

$- \frac{5}{9}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.1.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di

$27$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Moltiplica

$\frac{5}{9}$ per

$\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Moltiplica

$9$ per

$3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{27}$

Passaggio 3.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 - 5 \cdot 3}{27}$

Passaggio 3.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1

Moltiplica

$- 5$ per

$3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 - 15}{27}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Sottrai

$15$ da

$5$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 10}{27}$

Passaggio 3.1.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{1}{3}) = - \frac{10}{27}$

Passaggio 3.1.2.7

La risposta finale è

$- \frac{10}{27}$ .

$- \frac{10}{27}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo

$\frac{1}{3}$ in

$f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$ è

$(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$

Passaggio 4

Dividi

$(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo

$(- \infty, \frac{1}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$0.2\overline{3}$ nell'espressione.

$f'' (0.2\overline{3}) = 30 (0.2\overline{3}) - 10$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica

$30$ per

$0.2\overline{3}$ .

$f'' (0.2\overline{3}) = 7 - 10$

Passaggio 5.2.2

Sottrai

$10$ da

$7$ .

$f'' (0.2\overline{3}) = - 3$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è

$- 3$ .

$- 3$

Passaggio 5.3

Per

$0.2\overline{3}$ , la derivata seconda è

$- 3$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo

$(- \infty, \frac{1}{3})$ .

Decrescente su

$(- \infty, \frac{1}{3})$ perché

$f'' (x) < 0$

Decrescente su

$(- \infty, \frac{1}{3})$ perché

$f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo

$(\frac{1}{3}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$0.4\overline{3}$ nell'espressione.

$f'' (0.4\overline{3}) = 30 (0.4\overline{3}) - 10$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica

$30$ per

$0.4\overline{3}$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 13 - 10$

Passaggio 6.2.2

Sottrai

$10$ da

$13$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 3$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è

$3$ .

$3$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di

$0.4\overline{3}$ , la derivata seconda è

$3$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo

$(\frac{1}{3}, \infty)$ .

Crescente su

$(\frac{1}{3}, \infty)$ perché

$f'' (x) > 0$

Crescente su

$(\frac{1}{3}, \infty)$ perché

$f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è

$(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$ .

$(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$

Passaggio 8

Inserisci il TUO problema