Calcolo Esempi

f (x) = - x^{5}

$f (x) = - x^{5}$

Passaggio 1

Find the

x

$x$ values where the second derivative is equal to

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Poiché

- 1

$- 1$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

- x^{5}

$- x^{5}$ rispetto a

x

$x$ è

- \frac{d}{d x} [x^{5}]

$- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

- \frac{d}{d x} [x^{5}]

$- \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 5

$n = 5$ .

- (5 x^{4})

$- (5 x^{4})$

Passaggio 1.1.1.3

Moltiplica

5

$5$ per

- 1

$- 1$ .

$f' (x) = - 5 x^{4}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché

$- 5$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 5 x^{4}$ rispetto a

$x$ è

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 4$ .

$- 5 (4 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica

$4$ per

$- 5$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di

$f (x)$ rispetto a

$x$ è

$- 20 x^{3}$ .

$- 20 x^{3}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a

$0$ , quindi risolvi l'equazione

$- 20 x^{3} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a

$0$ .

$- 20 x^{3} = 0$

Passaggio 1.2.2

Dividi per

$- 20$ ciascun termine in

$- 20 x^{3} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Dividi per

$- 20$ ciascun termine in

$- 20 x^{3} = 0$ .

$\frac{- 20 x^{3}}{- 20} = \frac{0}{- 20}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$- 20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 20 x^{3}}{- 20} = \frac{0}{- 20}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Dividi

$x^{3}$ per

$1$ .

$x^{3} = \frac{0}{- 20}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Dividi

$0$ per

$- 20$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 1.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica

$\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Riscrivi

$0$ come

$0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 1.2.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di

$x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo

$(- \infty, 0)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- 2$ nell'espressione.

$f'' (- 2) = - 20 {(- 2)}^{3}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Eleva

$- 2$ alla potenza di

$3$ .

$f'' (- 2) = - 20 \cdot - 8$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica

$- 20$ per

$- 8$ .

$f'' (- 2) = 160$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è

$160$ .

$160$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo

$(- \infty, 0)$ perché

$f'' (- 2)$ è positivo.

Funzione convessa su

$(- \infty, 0)$ poiché

$f'' (x)$ è positivo

Funzione convessa su

$(- \infty, 0)$ poiché

$f'' (x)$ è positivo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo

$(0, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$2$ nell'espressione.

$f'' (2) = - 20 {(2)}^{3}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Eleva

$2$ alla potenza di

$3$ .

$f'' (2) = - 20 \cdot 8$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica

$- 20$ per

$8$ .

$f'' (2) = - 160$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è

$- 160$ .

$- 160$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo

$(0, \infty)$ perché

$f'' (2)$ è negativo.

Funzione concava su

$(0, \infty)$ poiché

$f'' (x)$ è negativo

Funzione concava su

$(0, \infty)$ poiché

$f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su

$(- \infty, 0)$ poiché

$f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su

$(0, \infty)$ poiché

$f'' (x)$ è negativo

Passaggio 7

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