Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 6$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.1.3

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Passaggio 1.1.1.4

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{2}$ .

$12 x^{2}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $12 x^{2} = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$12 x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x^{2} = 0$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x^{2} = 0$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

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Passaggio 1.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{12}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.2.3.1

Dividi $0$ per $12$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 1.2.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 1.2.4.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $12$ per $4$ .

$f'' (- 2) = 48$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $48$ .

$48$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, 0)$ perché $f'' (- 2)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, 0)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f'' (2) = 12 {(2)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2) = 12 \cdot 4$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $12$ per $4$ .

$f'' (2) = 48$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $48$ .

$48$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(0, \infty)$ perché $f'' (2)$ è positivo.

Funzione convessa su $(0, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, 0)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione convessa su $(0, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7

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