Calcolo Esempi

f (x) = x^{3}

$f (x) = x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 3

$n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di

$f (x)$ rispetto a

$x$ è

$3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a

$0$ quindi risolvi l'equazione

$3 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a

$0$ .

$3 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Dividi per

$3$ ciascun termine in

$3 x^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi per

$3$ ciascun termine in

$3 x^{2} = 0$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi

$x^{2}$ per

$1$ .

$x^{2} = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Dividi

$0$ per

$3$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4

Semplifica

$\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi

$0$ come

$0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.3

Più o meno

$0$ è

$0$ .

$x = 0$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a

$0$ sono

$0$ .

$0$

Passaggio 4

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata

$f' (x) = 3 x^{2}$ uguale a

$0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove

$f (x) = x^{3}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo

$(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$2$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica

$3$ per

$1$ .

$f' (- 1) = 3$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è

$3$ .

$3$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di

$x = - 1$ la derivata è

$3$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su

$(- \infty, 0)$ .

Crescente su

$(- \infty, 0)$ perché

$f' (x) > 0$

Crescente su

$(- \infty, 0)$ perché

$f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo

$(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$1$ nell'espressione.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 3 \cdot 1$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica

$3$ per

$1$ .

$f' (1) = 3$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è

$3$ .

$3$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di

$x = 1$ la derivata è

$3$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su

$(0, \infty)$ .

Crescente su

$(0, \infty)$ perché

$f' (x) > 0$

Crescente su

$(0, \infty)$ perché

$f' (x) > 0$

Passaggio 7

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su:

$(- \infty, 0), (0, \infty)$

Passaggio 8

Inserisci il TUO problema