Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{3} - x^{4} + x + 5$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - x^{4} + x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$12 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.4.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Somma $12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$ e $0$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

Passaggio 2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx 3.02727941$

Passaggio 3

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 3.02727941) \cup (3.02727941, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \infty, 3.02727941)$ nella derivata prima $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = - 4 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = - 4 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 4.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $12$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 1$

Passaggio 4.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f' (0) = 1$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $6$ , dell'intervallo $(3.02727941, \infty)$ nella derivata prima $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = - 4 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} + 1$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$f' (6) = - 4 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} + 1$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $216$ .

$f' (6) = - 864 + 12 {(6)}^{2} + 1$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f' (6) = - 864 + 12 \cdot 36 + 1$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $12$ per $36$ .

$f' (6) = - 864 + 432 + 1$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $- 864$ e $432$ .

$f' (6) = - 432 + 1$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 432$ e $1$ .

$f' (6) = - 431$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 431$ .

$- 431$

Passaggio 6

Poiché la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 3.02727941$ , allora c'è un punto in cui la derivata cambia segno per $x = 3.02727941$ .

Passaggio 7

Trova la coordinata y di $3.02727941$ per trovare il punto in cui la derivata cambia segno.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Trova $f (3.02727941)$ per calcolare la coordinata y di $3.02727941$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.02727941$ nell'espressione.

$f (3.02727941) = 4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Passaggio 7.1.2

Semplifica $4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Passaggio 7.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.1.2.2.1

Eleva $3.02727941$ alla potenza di $3$ .

$4 \cdot 27.7432619 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Passaggio 7.1.2.2.2

Moltiplica $4$ per $27.7432619$ .

$110.9730476 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Passaggio 7.1.2.2.3

Eleva $3.02727941$ alla potenza di $4$ .

$110.9730476 - 1 \cdot 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

Passaggio 7.1.2.2.4

Moltiplica $- 1$ per $83.98660555$ .

$110.9730476 - 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

Passaggio 7.1.2.3

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 7.1.2.3.1

Sottrai $83.98660555$ da $110.9730476$ .

$26.98644204 + 3.02727941 + 5$

Passaggio 7.1.2.3.2

Somma $26.98644204$ e $3.02727941$ .

$30.01372146 + 5$

Passaggio 7.1.2.3.3

Somma $30.01372146$ e $5$ .

$35.01372146$

Passaggio 7.2

Scrivi le coordinate $x$ e $y$ in forma punto.

$(3.02727941, 35.01372146)$

Passaggio 8

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