Calcolo Esempi

f (x) = 4 x^{3} - x^{4} + x + 5

$f (x) = 4 x^{3} - x^{4} + x + 5$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

4 x^{3} - x^{4} + x + 5

$4 x^{3} - x^{4} + x + 5$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.2

Calcola

\frac{d}{d x} [4 x^{3}]

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché

4

$4$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

4 x^{3}

$4 x^{3}$ rispetto a

x

$x$ è

4 \frac{d}{d x} [x^{3}]

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 3

$n = 3$ .

4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica

3

$3$ per

4

$4$ .

12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3

Calcola

\frac{d}{d x} [- x^{4}]

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché

- 1

$- 1$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

- x^{4}

$- x^{4}$ rispetto a

x

$x$ è

- \frac{d}{d x} [x^{4}]

$- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 4

$n = 4$ .

12 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica

4

$4$ per

- 1

$- 1$ .

12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.4.2

Poiché

5

$5$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

5

$5$ rispetto a

x

$x$ è

0

$0$ .

12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0$

12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Somma

12 x^{2} - 4 x^{3} + 1

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$ e

0

$0$ .

12 x^{2} - 4 x^{3} + 1

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

Passaggio 2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

x \approx 3.02727941

$x \approx 3.02727941$

Passaggio 3

Dividi

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori

x

$x$ che rendono la derivata prima

0

$0$ o indefinita.

(- \infty, 3.02727941) \cup (3.02727941, \infty)

$(- \infty, 3.02727941) \cup (3.02727941, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio

0

$0$ , dell'intervallo

(- \infty, 3.02727941)

$(- \infty, 3.02727941)$ nella derivata prima

- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile

x

$x$ con

0

$0$ nell'espressione.

$f' (0) = - 4 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elevando

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

$0$ .

$f' (0) = - 4 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica

$- 4$ per

$0$ .

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 4.2.1.3

Elevando

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

$0$ .

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica

$12$ per

$0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 1$

Passaggio 4.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Somma

$0$ e

$0$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Passaggio 4.2.2.2

Somma

$0$ e

$1$ .

$f' (0) = 1$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è

$1$ .

$1$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio

$6$ , dell'intervallo

$(3.02727941, \infty)$ nella derivata prima

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$6$ nell'espressione.

$f' (6) = - 4 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} + 1$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva

$6$ alla potenza di

$3$ .

$f' (6) = - 4 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} + 1$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica

$- 4$ per

$216$ .

$f' (6) = - 864 + 12 {(6)}^{2} + 1$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva

$6$ alla potenza di

$2$ .

$f' (6) = - 864 + 12 \cdot 36 + 1$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica

$12$ per

$36$ .

$f' (6) = - 864 + 432 + 1$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma

$- 864$ e

$432$ .

$f' (6) = - 432 + 1$

Passaggio 5.2.2.2

Somma

$- 432$ e

$1$ .

$f' (6) = - 431$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è

$- 431$ .

$- 431$

Passaggio 6

Poiché la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a

$x = 3.02727941$ , allora c'è un punto in cui la derivata cambia segno per

$x = 3.02727941$ .

Passaggio 7

Trova la coordinata y di

$3.02727941$ per trovare il punto in cui la derivata cambia segno.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Trova

$f (3.02727941)$ per calcolare la coordinata y di

$3.02727941$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$3.02727941$ nell'espressione.

$f (3.02727941) = 4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Passaggio 7.1.2

Semplifica

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Passaggio 7.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.2.1

Eleva

$3.02727941$ alla potenza di

$3$ .

$4 \cdot 27.7432619 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Passaggio 7.1.2.2.2

Moltiplica

$4$ per

$27.7432619$ .

$110.9730476 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Passaggio 7.1.2.2.3

Eleva

$3.02727941$ alla potenza di

$4$ .

$110.9730476 - 1 \cdot 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

Passaggio 7.1.2.2.4

Moltiplica

$- 1$ per

$83.98660555$ .

$110.9730476 - 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

Passaggio 7.1.2.3

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.3.1

Sottrai

$83.98660555$ da

$110.9730476$ .

$26.98644204 + 3.02727941 + 5$

Passaggio 7.1.2.3.2

Somma

$26.98644204$ e

$3.02727941$ .

$30.01372146 + 5$

Passaggio 7.1.2.3.3

Somma

$30.01372146$ e

$5$ .

$35.01372146$

Passaggio 7.2

Scrivi le coordinate

$x$ e

$y$ in forma punto.

$(3.02727941, 35.01372146)$

Passaggio 8

Inserisci il TUO problema